作业帮如果f(x)在x0处是连续的,则必存在x0的一个邻域,在这个邻域中f(x)是连续的.这个结论正确吗?怎么证明?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/08/26 22:46:55
如果f(x)在x0处是连续的,则必存在x0的一个邻域,在这个邻域中f(x)是连续的.这个结论正确吗?怎么证明?
这个结论是错误的.
考虑函数f(x) = x·D(x).
其中D(x)为Dirichlet函数,即当x为有理数时D(x) = 1,x为无理数时D(x) = 0.
可以证明D(x)在任意点都不连续.
由|f(x)| = |x|·D(x) ≤ |x|,可知lim{x → 0} f(x) = 0 = f(0),即f(x)在x0 = 0处连续.
但对任意x0 ≠ 0,f(x)在x0处不连续.
否则由1/x在x0处连续 (x0 ≠ 0),可得D(x) = 1/x·f(x)也在x0处连续,矛盾.
考虑函数f(x) = x·D(x).
其中D(x)为Dirichlet函数,即当x为有理数时D(x) = 1,x为无理数时D(x) = 0.
可以证明D(x)在任意点都不连续.
由|f(x)| = |x|·D(x) ≤ |x|,可知lim{x → 0} f(x) = 0 = f(0),即f(x)在x0 = 0处连续.
但对任意x0 ≠ 0,f(x)在x0处不连续.
否则由1/x在x0处连续 (x0 ≠ 0),可得D(x) = 1/x·f(x)也在x0处连续,矛盾.
f（x）在x0连续,邻域内可导,他的导数在x0是否连续
证明：若函数f(x)在点x0连续且f(xo)不等于0,则存在x0的某一邻域U(x0),当x属于U(x0)时,f(x)不等
函数f(x)在x0点的某一邻域内有定义能不能说明在该邻域内f(x)是连续的?
设f(x)在x=x0的邻域内有二阶连续导数,求
如果lim(x趋于x0)f(x)=3,那么必存在x0的某邻域,当x在该邻域内（x不等于x0）,恒有f（x）大于0,为什么
导数判定函数单调性一个函数f(x)在X0的导数>0,则存在a>0在X0去心邻域（X0-a,X0+a)使得f(x)是单调上
大学高数证明题设函数f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内两个偏导数存在且有界,证明f(x,y)在点(x0,y0)连续
函数在一点x0二阶导数存在 是不是这个点x0的邻域一阶导数连续?
f(x)在x0处的导数存在和在x0的空心邻域内f(x)可导是等价的吗
函数在x0的某邻域U有定义 且在x0可导 对任意x f(x)小于等于f(x0) 证明f'(x0)=0
设f(x)在(a,b)内连续,x0∈ (a,b)且f(x0)=A>0,证明存在一个邻域U(x0,&)∈(a,b)内使f(
大一数学分析题fx在x0右邻域内连续且在右邻域可导,其导函数从右趋于x0的极限存在,则这个极限等于x0这点的右导数第二题