已知,如图1所示的平面直角坐标系xOy中,A,C两点的坐标分别为A（2,3）,C（n,-3）（其中n大于0）,点B在

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/10/07 16:52:02

已知,如图1所示的平面直角坐标系xOy中,A,C两点的坐标分别为A（2,3）,C（n,-3）（其中n大于0）,点B在
轴的正半轴上,动点P从点O出发,在四边形OABC的边上依次沿O——A——B——C的顺序向点C移动,当点P与点C重合时停止运动,设点P移动的路径的长为L,三角形POC的面积为S,S与L的函数关系的图像如图2所示,其中四边形ODEF是等腰梯形.
（1）结合以上信息及图2填空：图2中的m=-------
（2）求B,C两点的坐标及图2中OF的长.
（3）在图1中,当动点P恰为经过O,B两点的抛物线W的顶点时
①求此抛物线W的解析式
②若点Q在直线y=-1上方的抛物线W上,坐标平面内另有一点R,满足以B,P,Q,R四点为顶点的四边形是菱形,求点Q的坐标.

（1）根据图中得出：
当P点运动到A点时,△POC的面积为12,
∴AO= 22+32 = 13 ,
∴m= 13 ,
故答案为：13 ；
（2）∵图1中四边形ODEF是等腰梯形,点D的坐标为D（m,12）,
∴yE=yD=12,此时图2中点P运动到与点B重合,
∵点B在x轴的正半轴上,
∴S△BOC=1 2 ×OB×|yC|=1 2 ×OB×3=12．
解得 OB=8,点B的坐标为（8,0）．
此时作AM⊥OB于点M,CN⊥OB于点N．
（如图2）．
∵点C的坐标为C（n,-3）,
∴点C在直线y=-3上．
又∵由图1中四边形ODEF是等腰梯形可知图2中的点C在过点O与AB平行的直线l上,
∴点C是直线y=-3与直线l的交点,且∠ABM=∠CON．
又∵|yA|=|yC|=3,即AM=CN,
可得△ABM≌△CON．
∴ON=BM=6,点C的坐标为C（6,-3）．
∵图2中 AB= AM2+BM2 = 32+62 =3 5 ．
∴图1中DE=3 5 ,OF=2xD+DE=2 13 +3 5 ．
（3）①当点P恰为经过O,B两点的抛物线的顶点时,作PG⊥OB于点G．
（如图3）
∵O,B两点的坐标分别为O（0,0）,B（8,0）,
∴由抛物线的对称性可知点P的横坐标为4,即OG=BG=4．由tan∠ABM=AM BM =3 6 =PG BG 可得PG=2．
∴点P的坐标为P（4,2）,
设抛物线W的解析式为y=ax（x-8）（a≠0）．
∵抛物线过点P（4,2）,
∴4a（4-8）=2．
解得 a=-1 8 ．
∴抛物线W的解析式为y=-1 8 x2+x．
②如图4．
i）当BP为以B,P,Q,R为顶点的菱形的边时,
∵点Q在直线y=-1上方的抛物线W 上,点P为抛物线W的顶点,
结合抛物线的对称性可知点Q只有一种情况,点Q与原点重合,其坐标为Q1（0,0）．
ii）当BP为以B,P,Q,R为顶点的菱形的对角线时,可知BP的中点的坐标为（6,1）,BP的中垂线的解析式为y=2x-11．
∴点Q2的横坐标是方程-1 8 x2+x=2x-11的解．
将该方程整理得 x2+8x-88=0．
解得x=-4±2 根号26 ．
由点Q在直线y=-1上方的抛物线W上,结合图4可知点Q2的横坐标为2 26 -4．
∴点Q2的坐标是Q2（2 根号26 -4,4 根号26 -19）．
综上所述,符合题意的点Q的坐标是Q1（0,0）,Q2（2 根号26 -4,4 根号26 -19）．