有理函数的不定积分,当把分母为多个因式的积拆成差的形式时,分子应该怎么设?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/05 11:43:05

当分母是ax² + bx + c等等这样的多项式时
分子设Ax + B等等这样的多项式,次数比分母少1次
当分母是(ax + b)³时
设A/(ax + b)³ + B/(ax + b)² + C/(ax + b)...余此类推
当分母是(ax² + bx + c)(ax + b)³等等
设(Ax + B)/(ax² + bx + c) + C/(ax + b)³ + D/(ax + b)² + E/(ax + b)...与此类推
再问：根据第一种的话，第二种的最高次是3，为什么不设成x的2次呢？那（x-3）/(x-1)^2*(x+1)应该怎么拆设？
再答：因为那个2次方不在x上，而是在整个括号上。不详尽说了，这部分莪也没深入探讨过，知道方法可以了。 (x - 3)/[(x - 1)²(x + 1)] = A/(x + 1) + B/(x - 1)² + C/(x - 1) 第一种情况的分子是设x的次方比分母中的x的次方少一次如果分母是ax^n + bx^(n - 1) + cx^(n - 2) +...，则分子是设Ax^(n - 1) + Bx^(n - 2) + Cx^(n - 3) + ...
再问：但是书上是这样设的——（Ax+B）/（x-1）^2+C/（x+1）。难道有两种设法？
再答： B/(x - 1)² + C/(x - 1) = [B + C(x - 1)]/(x - 1)² = [Cx + (B - C)]/(x - 1)²，你书上将这俩分数合并而已
再问：喔，原来如此。谢了！如果分母是（x^2+x+1）^2应该怎么拆设？
再答：这个有点特殊是A/(x² + x + 1)² + (Bx + C)/(x² + x + 1) 注意这分裂为分式的过程中，若分子次数大于等于分母的话，需用先多项式除法，否则分子次数要小于分母的才能使用。之前那个(x - 3)/[(x - 1)²(x + 1)]的分裂结果为- 1/(x + 1) + 1/(x - 1) - 1/(x - 1)²

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