作业帮学习方法(基本公理基本定理应用。)
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/09/01 10:08:35
初学立体几何，第1章第1节的证明题无从下手，即使知道总思路也写不出 怎么办，望老师给予详细解答。谢谢
解题思路： 基本公理基本定理应用。
解题过程：
高中的学生,已经掌握了平面几何的基础知识,但要进一步学好立体几何的基础知识却并不容易.因为从平面观念过渡到立体观念,对一般学生来说,困难较多.产生困难的原因是立体几何比平面几何研究的基本对象多了一个"面",而这多出的一个"面",使得在平面几何中点和直线之间的三种位置关系(即点与点,点与直线,直线与直线)拓展为立体几何中点,直线和平面之间的六种位置关系.因此,要学好立体几何的基础知识,首先要树立起立体观念,培养自己的空间想象力,做到能想象出空间图形并把它画在一个平面(如纸面或黑板)上,还要能根据画在平面上的"立体"图形想象出原来空间图形的真实形状.
为了培养自己的空间想象能力,高一的学生可在开始学习立体几何时,动手做一些实物模型,如直线,平面,正方体,长方体等等.通过对模型中点,直线和平面之间位置关系的观察,逐步培养自己对空间图形的想象能力和识别能力,想象这些空间图形画在纸上就是什么模样;同时要掌握画直观图的规则,掌握实践,虚线的使用方法,为正确地画图打好基础.培养自己的画图能力,可从简单的图形(如直线和平面的各种位置关系),简单的几何体(如正方体)画起.由对照模型画图,逐步过渡到没有模型摆在面前,也能正确地画出空间图形的直观图,而且能由直观图想象出空间图形.在这个"想图,画图,识图"的过程中,不仅空间想象能力得到提高,抽象思维能力也可以得到很大提高.
其次,立体几何的研究方法与平面几何的研究方法类似,即依据公理,运用逻辑推理方法,这就要求初学立体几何的学生要重视逻辑推理能力的培养.我们在教学中发现高一的新生在立体几何证明的证明过程中,常常出现以下两种错误:一个是由学生逻辑推理能力差而导致和证题思路上的错误;另一个是由学生语言表达能力差而导致的证题的书面表达上的错误.例如,立体几何课本第一3页公理3的推论1:"经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面."学生们常常这样来证明这个推论:A是直线a外一点.在 a上任取两点 B,C ,则A,B,C三点不共线.根据公理3,经过不共线三点 A,B,C有且仅有一个平面a,又点B,C都在平面a内,所以根据公理1,直线a在平面a内,即过直线a和点A有且只有一个平面.
当然,这样证明是不全对的,事实上,上面的证明过程中有这样一个逻辑错误:即把过A,B,C三点的平面构成的集合与过直线a和点A的平面构成的集合先承认是两个相等的集合,从而由第一个集合有且只有一个元素导出第二个集合有且只有一个元素.正确的逻辑推理应该是这样的:先证明上面的第二个集合包含于第一个集合,从而由第一个集合有且只有一个元素导出第二个集合最多有一个元素;其次证明第二个集合确实有一个元素,最后得出第二个集合有且只有一个元素的结论.
由此不难看出要学好立体几何的基础知识,必须要注重逻辑推理能力的培养.为此,初学立体几何的学生要重视看起来简单的那些基本概念,公理和定理,不仅要理解它们,还要熟练地记忆它们,掌握它们之间的联系.同时对基础的题目必须从一开始就认真地书写证明(或求解)过程,包括已知,求证,证明,作图等等,证明过程要特别注意所运用的公理,定理的条件要摆够,摆准.另外,对课本上定理的证明必须熟记,掌握定理证明的逻辑推理过程及其渗透的数学方法.
第三,要学好立体几何的基础知识,还要充分运用"转化"这种数学思想,要明确在转化过程中什么变了,什么不变,有什么联系.
比如三垂线定理可以把平面内两条直线垂直转化为空间的两条直线垂直,而三垂线逆定理可以把空间的两条直线垂直转化为平面内的两条直线垂直.
再比如异面直线的距离可以转化为直线和与它平行的平面间的距离,也可以转化为两平行平面的距离,即异面直线的距离与线面距,面面距三者之间可互相转化.
又比如异面直线可由平面几何中的平行直线转化而得:只要把两条平行直线中的一条旋转使它与原平行线确定的平面相交即可(这个过程涉及到一个角度问题).异面直线还可由平面几何中的相交直线平移而得,只须把两条相交直线中的一条从原相交直线确定的平面中平行地拉出来(这个过程涉及到一个距离问题).事实上,整个平面几何所研究的点和直线之间的三种位置关系都可以用角和距离描述.当平面图形由于多加了一个"面"而转化为立体图形,出现点,直线,平面之间的六种位置关系时,不难发现,我们仍然可以用角和距离来描述.
由于平面几何是立体几何的一部分,空间的点,线,面如果都在同一平面内,则两面平面几何中的结论依然成立.反过来,平面几何中的正确命题在立体几何中是否依然正确呢 当然不一定正确(比如有三个直角的平面四边形一定是矩形,但有三直角的空间四边形一定不是矩形),所以我们提醒初学立体几何的学生们,要在学习过程中注意平面几何与立体几何及立体几何本身各元素的位置关系的区别和联系,及时进行对比和总结,掌握转化的规律.
最终答案：略
解题过程：
高中的学生,已经掌握了平面几何的基础知识,但要进一步学好立体几何的基础知识却并不容易.因为从平面观念过渡到立体观念,对一般学生来说,困难较多.产生困难的原因是立体几何比平面几何研究的基本对象多了一个"面",而这多出的一个"面",使得在平面几何中点和直线之间的三种位置关系(即点与点,点与直线,直线与直线)拓展为立体几何中点,直线和平面之间的六种位置关系.因此,要学好立体几何的基础知识,首先要树立起立体观念,培养自己的空间想象力,做到能想象出空间图形并把它画在一个平面(如纸面或黑板)上,还要能根据画在平面上的"立体"图形想象出原来空间图形的真实形状.
为了培养自己的空间想象能力,高一的学生可在开始学习立体几何时,动手做一些实物模型,如直线,平面,正方体,长方体等等.通过对模型中点,直线和平面之间位置关系的观察,逐步培养自己对空间图形的想象能力和识别能力,想象这些空间图形画在纸上就是什么模样;同时要掌握画直观图的规则,掌握实践,虚线的使用方法,为正确地画图打好基础.培养自己的画图能力,可从简单的图形(如直线和平面的各种位置关系),简单的几何体(如正方体)画起.由对照模型画图,逐步过渡到没有模型摆在面前,也能正确地画出空间图形的直观图,而且能由直观图想象出空间图形.在这个"想图,画图,识图"的过程中,不仅空间想象能力得到提高,抽象思维能力也可以得到很大提高.
其次,立体几何的研究方法与平面几何的研究方法类似,即依据公理,运用逻辑推理方法,这就要求初学立体几何的学生要重视逻辑推理能力的培养.我们在教学中发现高一的新生在立体几何证明的证明过程中,常常出现以下两种错误:一个是由学生逻辑推理能力差而导致和证题思路上的错误;另一个是由学生语言表达能力差而导致的证题的书面表达上的错误.例如,立体几何课本第一3页公理3的推论1:"经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面."学生们常常这样来证明这个推论:A是直线a外一点.在 a上任取两点 B,C ,则A,B,C三点不共线.根据公理3,经过不共线三点 A,B,C有且仅有一个平面a,又点B,C都在平面a内,所以根据公理1,直线a在平面a内,即过直线a和点A有且只有一个平面.
当然,这样证明是不全对的,事实上,上面的证明过程中有这样一个逻辑错误:即把过A,B,C三点的平面构成的集合与过直线a和点A的平面构成的集合先承认是两个相等的集合,从而由第一个集合有且只有一个元素导出第二个集合有且只有一个元素.正确的逻辑推理应该是这样的:先证明上面的第二个集合包含于第一个集合,从而由第一个集合有且只有一个元素导出第二个集合最多有一个元素;其次证明第二个集合确实有一个元素,最后得出第二个集合有且只有一个元素的结论.
由此不难看出要学好立体几何的基础知识,必须要注重逻辑推理能力的培养.为此,初学立体几何的学生要重视看起来简单的那些基本概念,公理和定理,不仅要理解它们,还要熟练地记忆它们,掌握它们之间的联系.同时对基础的题目必须从一开始就认真地书写证明(或求解)过程,包括已知,求证,证明,作图等等,证明过程要特别注意所运用的公理,定理的条件要摆够,摆准.另外,对课本上定理的证明必须熟记,掌握定理证明的逻辑推理过程及其渗透的数学方法.
第三,要学好立体几何的基础知识,还要充分运用"转化"这种数学思想,要明确在转化过程中什么变了,什么不变,有什么联系.
比如三垂线定理可以把平面内两条直线垂直转化为空间的两条直线垂直,而三垂线逆定理可以把空间的两条直线垂直转化为平面内的两条直线垂直.
再比如异面直线的距离可以转化为直线和与它平行的平面间的距离,也可以转化为两平行平面的距离,即异面直线的距离与线面距,面面距三者之间可互相转化.
又比如异面直线可由平面几何中的平行直线转化而得:只要把两条平行直线中的一条旋转使它与原平行线确定的平面相交即可(这个过程涉及到一个角度问题).异面直线还可由平面几何中的相交直线平移而得,只须把两条相交直线中的一条从原相交直线确定的平面中平行地拉出来(这个过程涉及到一个距离问题).事实上,整个平面几何所研究的点和直线之间的三种位置关系都可以用角和距离描述.当平面图形由于多加了一个"面"而转化为立体图形,出现点,直线,平面之间的六种位置关系时,不难发现,我们仍然可以用角和距离来描述.
由于平面几何是立体几何的一部分,空间的点,线,面如果都在同一平面内,则两面平面几何中的结论依然成立.反过来,平面几何中的正确命题在立体几何中是否依然正确呢 当然不一定正确(比如有三个直角的平面四边形一定是矩形,但有三直角的空间四边形一定不是矩形),所以我们提醒初学立体几何的学生们,要在学习过程中注意平面几何与立体几何及立体几何本身各元素的位置关系的区别和联系,及时进行对比和总结,掌握转化的规律.
最终答案：略