作业帮数列难题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/09 05:52:09
已知在数列{an}中，a1=t，a2=t2，其中t＞0，x= t是函数f（x）=an-1x3-3[（t+1）an-an+1]x+1（n≥2）的一个极值点
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式
（Ⅱ）当t=2时，令 bn=an-1(an+1)(an+1+1)，数列{bn}前n项的和为Sn，求证：Sn ＜16
（Ⅲ）设 cn=12an(2n+1)(2n+1+1)，数列{cn}前n项的和为Tn，求同时满足下列两个条件的t的值：
（1） Tn＜16
（2）对于任意的 m∈(0，16)，均存在k∈N*，当n≥k时，Tn＞m．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式
（Ⅱ）当t=2时，令 bn=an-1(an+1)(an+1+1)，数列{bn}前n项的和为Sn，求证：Sn ＜16
（Ⅲ）设 cn=12an(2n+1)(2n+1+1)，数列{cn}前n项的和为Tn，求同时满足下列两个条件的t的值：
（1） Tn＜16
（2）对于任意的 m∈(0，16)，均存在k∈N*，当n≥k时，Tn＞m．
解题思路： 借助于函数的极值点来研究数列的通项以及利用裂项求和法求数列的和．是一道不太容易的题．需要综合的知识点较多．
解题过程：
解：（Ⅰ）由题意得：f′（ t）=0即3an-1t-3[（t+1）an-an+1]=0
故an+1-an=t（an-an-1）（n≥2）
则当t≠1时，数列{an+1-an}是以t2-t为首项
t为公比的等比数列
∴an+1-an=（t2-t）tn-1
由an+1-an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）++（an-an-1）
=t+（t2-t）[1+t+t2++tn-2]
=t+（t2-t）• 1-tn-11-t=tn
此式对t=1也成立
∴an=tn（n∈N*）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ） bn=2n-1(2n+1)(2n+1+1)=12(12n+1-12n+1-1)，
所以 Sn=12(12+1-12n+1+1)＜16
故：Sn ＜16．
（Ⅲ）（1）当t=2时，由（Ⅱ）得 Tn=12(12+1-12n+1+1)＜16，
Tn=12(12+1-12n+1+1)＞m⇒n＞log2(113-2m-1)-1＞0
取 k=[log2(113-2m-1)-1]，当n≥k时，Tn＞m
（2）当t＜2时， tn2n=(t2)n≤t2，
所以 tn≤t22n， Tn≤t212(12+1-12n+1+1)＜t12＜16
取 m=t12∈(0，16)，
因为 Tn＜t12，不存在k，使得当n≥k时，Tn＞m
（3）当t＞2时， tn2n=(t2)n≥t2， tn≥t22n， Tn≥t212(12+1-12n+1+1)，
由（1）可知存在k∈N*，当n≥k时 12(12+1-12n+1+1)＞13t，
故存在k∈N*，当n≥k时， Tn≥t212(12+1-12n+1+1)＞t213t=16
综上，t=2
最终答案：略
解题过程：
解：（Ⅰ）由题意得：f′（ t）=0即3an-1t-3[（t+1）an-an+1]=0
故an+1-an=t（an-an-1）（n≥2）
则当t≠1时，数列{an+1-an}是以t2-t为首项
t为公比的等比数列
∴an+1-an=（t2-t）tn-1
由an+1-an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）++（an-an-1）
=t+（t2-t）[1+t+t2++tn-2]
=t+（t2-t）• 1-tn-11-t=tn
此式对t=1也成立
∴an=tn（n∈N*）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ） bn=2n-1(2n+1)(2n+1+1)=12(12n+1-12n+1-1)，
所以 Sn=12(12+1-12n+1+1)＜16
故：Sn ＜16．
（Ⅲ）（1）当t=2时，由（Ⅱ）得 Tn=12(12+1-12n+1+1)＜16，
Tn=12(12+1-12n+1+1)＞m⇒n＞log2(113-2m-1)-1＞0
取 k=[log2(113-2m-1)-1]，当n≥k时，Tn＞m
（2）当t＜2时， tn2n=(t2)n≤t2，
所以 tn≤t22n， Tn≤t212(12+1-12n+1+1)＜t12＜16
取 m=t12∈(0，16)，
因为 Tn＜t12，不存在k，使得当n≥k时，Tn＞m
（3）当t＞2时， tn2n=(t2)n≥t2， tn≥t22n， Tn≥t212(12+1-12n+1+1)，
由（1）可知存在k∈N*，当n≥k时 12(12+1-12n+1+1)＞13t，
故存在k∈N*，当n≥k时， Tn≥t212(12+1-12n+1+1)＞t213t=16
综上，t=2
最终答案：略