在△ABC内求一点,使（向量AP）^2+（向量BP）^2+（向量CP）^2最小,此时的P点是一个什么特殊点?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/08 22:39:14

点P是△ABC的重心.
［证明］
显然有：向量AP＝向量CP－向量CA、　向量BP＝向量CP－向量CB,
∴（向量AP）^2＋（向量BP）^2＋（向量CP）^2
＝（向量CP－向量CA）^2＋（向量CP－向量CB）^2＋（向量CP）^2
＝（向量CP）^2－2向量CP·向量CA＋（向量CA）^2
　＋（向量CP）^2－2向量CP·向量CB＋（向量CB）^2＋（向量CP）^2
＝3（向量CP）^2－2向量CP·（向量CA＋向量CB）＋（向量CA）^2＋（向量CB）^2
＝3［（向量CP）^2－（2/3）向量CP·（向量CA＋向量CB）＋（1/9）（向量CA＋向量CB）^2］
　－（1/3）（向量CA＋向量CB）^2＋（向量CA）^2＋（向量CB）^2
＝3［向量CP－（1/3）（向量CA＋向量CB）］^2
　－（1/3）（向量CA＋向量CB）^2＋（向量CA）^2＋（向量CB）^2.
∵向量CA、向量CB 都是确定的,
∴当向量CP＝（1/3）（向量CA＋向量CB）时,
　（向量AP）^2＋（向量BP）^2＋（向量CP）^2 有最小值.
以CA、CB为邻边作平行四边形ACBD,令AB与CD相交于E.
则：CD＝2CE、　AE＝BE、　向量CD＝向量CA＋向量CB.
∴当向量CP＝（1/3）（向量CA＋向量CB）时,有：向量CP＝（1/3）向量CD,
∴向量CP、向量CD共线,
∴C、P、D共线,且CP＝（1/3）CD＝（2/3）CE,而AE＝BE,∴P是△ABC的重心.
注：网上有利用解析法给出的答案,请阅读以下的链接.

在三角形ABC内求一点P,使向量AP+向量BP+向量CP最小已知P为三角形ABC所在平面内一点,且向量AP+2向量BP+3向量CP=向量0.延长AP交BC于点D, ..已知P是三角形ABC内一点,且满足向量AP+2向量BP+3向量CP=0向量,设Q为CP的延长线与AB的交点,令向量C 已知P为三角形ABC内一点,且3向量AP+4向量BP+5向量CP=向量O,延长AP交BC于点D, 在三角形ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上,且满足向量AP=2向量PM,求向量AP*（向量PB+向量PC）已知向量OA=（2,2）向量OB=（4,1）在X轴上的一点P使向量AP*PB的数量积最小则P点坐标是如图,在边长为2的正三角形ABC中,点P满足向量CP=2向量PB,则向量AP×向量CB= P为△ABC内任意一点,求证：向量AP*向量BC+向量BP*向量CA+向量CP*向量AB=0 在△abc中 m是bc的中点,AM=3,点P在AM上.且满足向量AP=2向量PM,则向量PA*（向量PB+向量PC）的值在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足向量AP=2向量PM,则向量PA*（向量PB+向量PC）等于? 在三角形ABC中,M是BC的中心,AM=1,点P在AM上且满足向量AP=2向量PM,则向量AP×(向量PB+向量PC）= 在△ABC所在平面内求一点P,使AP*2+BP*2+CP*2最小.