在三角形中 a>b>c a+c=2b a^2+b^2+c^2=84 求满足条件的正整数b

在三角形中 a>b>c a+c=2b a^2+b^2+c^2=84 求满足条件的正整数b

存在.根据抛物线图线,满足条件的直角三角形是以AB为斜边的直角三角形
取AB中点D（1,0）,只要满足PD=AD=BD=2即可
显然C点满足条件,P1(0,-√3),P1关于抛物线的对称点也是满足条件的点
P2(2,-√3)
3）、没有使得三角形MBF的周长最小的M点,倒是有MF+FB+BM最小的点,此即
AC所在直线与BF直线的交点
AC:Y=-√3X-√3,M(X,-√3-√3)
BF:Y=2√3X/3-2√3
X=3/5,Y=-8√3/5
0231.
在Rt⊿ABC中,AB=3,BC=4,∠ABC=90°,过B作BA1⊥AC,过A1作A1B1⊥BC,得阴影Rt⊿A1B1B；再过B1作B1A2⊥AC,过A2作A2B2⊥BC,得阴影Rt⊿A2B2B1；……如此下去,请猜测这样得到的所有阴影三角形的面积之和为
方法一、AC=5
A1B:BC=3:5,A1B=4*3/5=12/5,A1B1=(12/5)*(4/5)=48/25
BB1=36/25
S1=Sa1b1b=(1/2)*(36/25)*(48/25)=6*(12/25)^2=864/625
同理得到：B1C=4-36/25=64/25,A2B1=16*4*3/125,
A2B2=16*16*3/625=48*16/625,B1B2=36*16/625
A2B2:A1B1=25*48*16/48*625=16/25
B1B2:BB1=36*16*25/(625*36)=16:25
相似比=16/25
S2=S1*(16/25)^2,S3=S2(16/25)^2=S1*(16/25)^4
.
∑S=S1*[1+16^2/25^2+16^4/25^4+...+16^2(n-1)/25^2(n-1)].1)
(16^2/25^2)*∑S=S1*[16^2/25^2+16^4/25^4+...+16^2n/25^2n].2)
-2):∑S(1-16^2/25^2)=S1(1-16^2n/25^2n)
n趋于∞时,16^2n/25^2n=0,所以
∑S=S1/(1-16^2/25^2)=(864/625)*[625/(625-256)]=864/369=288/123=96/41
方法二、S1=SRt⊿a1b1b=864/625,S1'=Sabb1a1=(3+48/25)*36/25*(1/2)=123*18/625
S1:S1'=864/(18*123)=16/41
据相似,S1:S1'=S2:S2'=...=Sn:Sn'=16:41=k,即每个阴影小三角形和它所在的直角梯形的面积比=常数
∑S=S1+S2+...+Sn=k(S1'+S2'+...+Sn'),n→∞时,S1'+S2'+S3'+...+Sn'=SRt⊿abc=3*4/2=6
所以,∑S=6k=6*16/41=96/41
0232.
在三角形中 a>b>c a+c=2b a^2+b^2+c^2=84 求满足条件的正整数b
2b＝a＋c,
则4b^2=a^2+2ac+c^2,2ac=4b^2-a^2-c^2；
∵a>b>c>0,∴ (a-c)^2>0,a^2+c^2-2ac>0,即2ac=4b^2-a^2-c^22b^2； 又∵a^2+b^2+c^2=84,∴ a^2+c^2=84-b^2>2b^2 ,即84>3b^3
b^2b,且a^2+b^2+c^2=84
b=1,a^2=84-b^2-c^2>82>9^2,abc不能组成三角形
b=2,a^2=84-b^2-c^2>76>8^2,abc也不能组成三角形
b=3,a^2=84-a^2-c^2>64=8^2,abc还是不能组成三角形
b=4,a^2=84-a^2-c^2>50>7,组成三角形的基本条件成立.此时,a+c=2b=8,a^2+16+c^2=84；
联立以上两式得c=10>b,∴b≠4；
b=5,a+c=2b=10,a^2+c^2+25=84,a^2+100-20a+a^2=59,2a^2-20a+41=0
a=5+√[(400-328)/16]=5+3√2/2,c=5-3√2/2.所以满足条件的b=5