a2+b2+c2=12求证:a3+b3+c3大于等于24
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/24 10:23:57
a2+b2+c2=12求证:a3+b3+c3大于等于24
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∵a,b,c都是正实数,∴ a^2+b^2+c^2=12≥3(abc)^(2/3)
∴abc≤(12/3)^(3/2)=8,当切仅仅当a=b=c=2时等号成立.
故a+b+c≥3(abc)^(1/3)≥3(8)^(1/3)=6,当且仅仅当a=b=c=2时等号成立.
又由于a^2+b^2≥2ab,于是(a^2+b^2)(a+b)≥2ab(a+b)
即a^3+ab^2+ba^2+b^3≥2ba^2+2ab^2
∴a^3+b^3≥ab(a+b)………..(1)
同样可证得:
b^3+c^3≥bc(b+c)…………..(2)
c^3+a^3≥ac(a+c)…………...(3)
(1)+(2)+(3),得:
2(a^3+b^3+c^3)≥ab(a+b)+(bc(b+c)+ac(a+c)
=(a^2)b+ab^2+(b^2)c+bc^2+(a^2)c+ac^2
于是3(a^3+b^3+c^3)≥(a^3+a^2b+a^2c)+(b^3+ab^2+cb^2)+(c^3+ac^2+bc^2)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)
∴a^3+b^3+c^3≥(1/3)(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)=4(a+b+c)≥4*6=24.
即不等式a^3+b^3+c^3≥24成立
∴abc≤(12/3)^(3/2)=8,当切仅仅当a=b=c=2时等号成立.
故a+b+c≥3(abc)^(1/3)≥3(8)^(1/3)=6,当且仅仅当a=b=c=2时等号成立.
又由于a^2+b^2≥2ab,于是(a^2+b^2)(a+b)≥2ab(a+b)
即a^3+ab^2+ba^2+b^3≥2ba^2+2ab^2
∴a^3+b^3≥ab(a+b)………..(1)
同样可证得:
b^3+c^3≥bc(b+c)…………..(2)
c^3+a^3≥ac(a+c)…………...(3)
(1)+(2)+(3),得:
2(a^3+b^3+c^3)≥ab(a+b)+(bc(b+c)+ac(a+c)
=(a^2)b+ab^2+(b^2)c+bc^2+(a^2)c+ac^2
于是3(a^3+b^3+c^3)≥(a^3+a^2b+a^2c)+(b^3+ab^2+cb^2)+(c^3+ac^2+bc^2)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)
∴a^3+b^3+c^3≥(1/3)(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)=4(a+b+c)≥4*6=24.
即不等式a^3+b^3+c^3≥24成立
求证行列式 |a1 b1 c1||a2 b2 c2||a3 b3 c3|=|c3 c2 c1||b3 b2 b1||a3
已知a+b+c=1求证 a3+b3+c3>=1/3(a2+b2+c2)
已知a3+b3+c3=a2+b2+c2=a+b+c=1.求证abc=0
已知a3+b3+c3=a2+b2+c2=a+b+c=1,求证abc=0.
已知 a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 三阶行列式等于1
证明行列式 a1 b1 c1 等于a1 a2 a3 a2 b2 c2 b1 b2 b3 a3 b3 c3 c1 c2 c
a+b+c=2 a2+b2+c2=14 a3+b3+c3=20
若abc为正数,证明2(a3+b3+c3)大于等于a2(b+c)+b2(a+c)+c2( a+b)注是3是立方
1.设a,b,c是三角形的三边,求证:a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)-a3-b3-c3>2abc
已知a,b,c∈R+,求证:(a+b+c)(a3+b3+c3)≥(a2+b2+c2)2
求证行列式 |a1 b1 a1x+b1y+c1||a2 b2 a2x+b2y+c2||a3 b3 a3x+b3y+c3|
行列式a1 a2 a3;b1 b2 b3;c1 c2 c3=-2,求c1 c2 c3;a1 a2 a3;-2b1 -2b