已知抛物线C:y=2px,其中P>0,过定点M(p,0)任做一直线于抛物线相交于A,B两点.O为原点.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/18 17:24:39

已知抛物线C:y=2px,其中P>0,过定点M(p,0)任做一直线于抛物线相交于A,B两点.O为原点.
1.若/MA/=2/MB/,且三角形OAB的面积为6,求p的值
2.问是否存在一条于垂直于x轴的定直线,被以线段MA为直径的圆截得得弦长为定值?若存在,试求出此定直线方程及弦长；若不存在,请说明理由.
希望有过程,我想知道1.中的/MA/=2/MB/怎么用

此题有点难度：
1、
设A(x1,y1)、B(x2,y2),
AB：y=k(x-p),即x=(1/k)y + p (为了方便打字,我下面用m代替1/k,即x=my +p)
联立直线、抛物线,消去x,得
y²=2p(my+p),即y²-2pmy-2p²=0
y1y2= -2p² …… ①
原点O到直线AB距离
d=p/√(1+m²)
|AB|=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²] (注：x1-x2=(my1+p)-(my2+p)=m(y1-y2) )
=√[ m²(y1-y2)²+(y1-y2)²]
=√[( m²+1)(y1-y2)²]
= |y1-y2|√(m²+1)
∵|MA|=2|MB|,∴|y1|=2|y2|,
又∵y1、y2一定异号,即y1y2＜0,即y1=-2y2
∴|y1-y2|=3|y2|
∴|AB|=3|y2|√(m²+1)
∴S=(1/2)|AB|×d=(1/2)×3|y2|√(m²+1) × p/√(1+m²) = (3/2)·|y2|·p=6
|y2|=4/p
|y1|=8/p
∵y1y2＜0
∴y1y2= -32/p² …… ②
由①②,得p=2
2、设A(x1,y1),则圆心D( (x1+p)/2,y1/2 )
设存在符合条件的直线L：x=n
圆心到L的距离为d=|(x1+p)/2 - n|
|AM|=√[(x1-p)²+y1²]=√[(x1-p)²+2px1] = √(x1²+p²)
∴L被以圆截得的弦长为：(根据那个直角三角形用勾股定理)
2√(R²-d²)=2√[ ( |AM|/2 )² - | (x1+p)/2 - n |² ]
=2√[ (x1²+p²)/4 - | (x1+p)/2 - n | ² ] 全拆开,得
=2√[(-px1/2) + n(x1+ p)-n²]
=2√[(n - p/2)x1 + np-n²]
当n=p/2时,弦长有定值√2 p
直线L：x=p/2

已知抛物线y^2=2px（p>0）,过焦点F的动直线l交抛物线于A、B两点,O为坐标原点,求证：已知直线l过定点A（4,0）且与抛物线C:y²=2px(p>0)交于P、Q两点,若以PQ为直径的圆恒过原点O, 已知直线l过点M(4,0)且与抛物线y的平方=2px(p>0)交于A、B两点,以炫AB为直径的圆恒过坐标原点O.求抛物线在平面直角坐标系xoy中,过定点C（p,0)作直线m与抛物线y^2=2px(p>0)相交于A 、B两点.（1）设N（-p 已知抛物线C：y²=2px(P＞0）的焦点为F 若过F的直线L与C相交于A B两点若AB的垂直平分线L’与C相交于M 设抛物线C:y^2=2px(p>0),直线l经过抛物线的焦点F与抛物线交于A,B两点,O是坐标原点. 已知抛物线y^2=2px(p>0),过焦点F的直线交抛物线于M、N两点,且⊿MON面积的最小值为1/2,其中O为坐标原点解析几何抛物线已知抛物线y^2=2px(p>0)与直线y=-x+1相交于A,B两点,以弦AB为直径的圆恰好过原点,则抛已知抛物线y2=2px（p＞0）与直线y=-x+1相交于A、B两点，以弦长AB为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程．已知直线l过定点(2p,0)与抛物线y²=2px(p>0)交于A,B两点求证OA⊥OB 已知直线y=x+b与抛物线y2=2px(p>0)相交于A,B两点,若OA垂直于OB,(O为坐标原点)且S△AOB=2√5 已知抛物线y^2=2px(p>0),过焦点F的动直线L交抛物线于A、B两点,抛物线在A、B两点处的切线相交于点Q,