作业帮高二含绝对值不等式问题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/10/05 21:29:33
高二含绝对值不等式问题
设f(x)=根号下1+x^2 求证对于任意的a、b,a不等于b,都有|f(a)-f(b)|
设f(x)=根号下1+x^2 求证对于任意的a、b,a不等于b,都有|f(a)-f(b)|
|f(a)-f(b)| < |a-b|
|√(1+a^2) - √(1+b^2)| < |a-b|
[√(1+a^2) + √(1+b^2)]*|√(1+a^2) - √(1+b^2)| < [√(1+a^2) + √(1+b^2)]*|a-b| 注：同乘以正数√(1+a^2) + √(1+b^2)
|(1+a^2) - (1+b^2)| < [√(1+a^2) + √(1+b^2)]*|a-b|
|a-b|*|a+b| < [√(1+a^2) + √(1+b^2)]*|a-b| 注：a不等于b,所以|a-b|是正数
|a+b| < √(1+a^2) + √(1+b^2)
最后不等式显然成立：利用√(1+x^2) > |x|,有√(1+a^2) + √(1+b^2) > |a|+|b| > |a+b|
|√(1+a^2) - √(1+b^2)| < |a-b|
[√(1+a^2) + √(1+b^2)]*|√(1+a^2) - √(1+b^2)| < [√(1+a^2) + √(1+b^2)]*|a-b| 注：同乘以正数√(1+a^2) + √(1+b^2)
|(1+a^2) - (1+b^2)| < [√(1+a^2) + √(1+b^2)]*|a-b|
|a-b|*|a+b| < [√(1+a^2) + √(1+b^2)]*|a-b| 注：a不等于b,所以|a-b|是正数
|a+b| < √(1+a^2) + √(1+b^2)
最后不等式显然成立：利用√(1+x^2) > |x|,有√(1+a^2) + √(1+b^2) > |a|+|b| > |a+b|