(2009•大连二模)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2.E、F分别为线段AB、D1
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/09/13 04:50:25
(2009•大连二模)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2.E、F分别为线段AB、D1C上的点.
(Ⅰ)若E、F分别为线段AB、D1C的中点,求证:EF∥平面AD1;
(Ⅱ)已知二面角D1-EC-D的大小为
(Ⅰ)若E、F分别为线段AB、D1C的中点,求证:EF∥平面AD1;
(Ⅱ)已知二面角D1-EC-D的大小为
π |
6 |
(Ⅰ)证明:取DC的中点G,连接FG,GE.
∵FG∥DD1,DD1⊂平面AD1,
∴FG∥平面AD1.
同理:GE∥平面AD1,且FG∩GE=G,
∴平面EFG∥平面AD1,EF⊂平面EFG,
∴EF∥平面AD1.
(Ⅱ)D1D⊥平面ABCD,过D在平面ABCD内作DH⊥EC于H,连接D1H.
∵DH是D1H在平面ABCD内的射影,
∴D1H⊥EC.
∴∠DHD1为二面角D1-EC-D的平面角.
即∠DHD1=
π
6.
在△DHD1中,tan∠DHD1=
3
3,
∴DH=
3,S△DEC=
1
2×2×1=
1
2×EC×
3,
∴EC=
2
3
3,
∴EC2=1+EB2,
∴EB=
3
3,
∴AE=2−
3
3.
∵FG∥DD1,DD1⊂平面AD1,
∴FG∥平面AD1.
同理:GE∥平面AD1,且FG∩GE=G,
∴平面EFG∥平面AD1,EF⊂平面EFG,
∴EF∥平面AD1.
(Ⅱ)D1D⊥平面ABCD,过D在平面ABCD内作DH⊥EC于H,连接D1H.
∵DH是D1H在平面ABCD内的射影,
∴D1H⊥EC.
∴∠DHD1为二面角D1-EC-D的平面角.
即∠DHD1=
π
6.
在△DHD1中,tan∠DHD1=
3
3,
∴DH=
3,S△DEC=
1
2×2×1=
1
2×EC×
3,
∴EC=
2
3
3,
∴EC2=1+EB2,
∴EB=
3
3,
∴AE=2−
3
3.
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