一道不等式竞赛题设a,b,c∈R+且a+b+c=3,求证(a²+3b²)/ab²(4-ab
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/02 18:07:01
一道不等式竞赛题
设a,b,c∈R+且a+b+c=3,求证(a²+3b²)/ab²(4-ab)+(b²+3c²)/bc²(4-bc)+(c²+3a²)/ca²(4-ac)≥4
设a,b,c∈R+且a+b+c=3,求证(a²+3b²)/ab²(4-ab)+(b²+3c²)/bc²(4-bc)+(c²+3a²)/ca²(4-ac)≥4
首先有(a²+3b²)/(ab²(4-ab)) ≥ (2ab+2b²)/(ab²(4-ab)) = 2(a+b)/(ab(4-ab)).
同理(b²+3c²)/(bc²(4-bc)) ≥ 2(b+c)/(bc(4-bc)),(c²+3a²)/(ca²(4-ca)) ≥ 2(c+a)/(ca(4-ca)).
只需证明:36(a+b)/(ab(4-ab))+36(b+c)/(bc(4-bc))+36(c+a)/(ca(4-ca)) ≥ 72.
而36(a+b)/(ab(4-ab)) = 9(a+b)(1/(ab)+1/(4-ab))
= 9/b+9/a+9a/(4-ab)+9b/(4-ab)
= 9a/(4-ab)+(4-ab)/a+9b/(4-ab)+(4-ab)/b+5/a+5/b+a+b
≥ 6+6+5/a+5/b+a+b
= 12+5(1/a+1/b)+(a+b).
同理36(b+c)/(bc(4-bc)) ≥ 12+5(1/b+1/c)+(b+c),36(c+a)/(ca(4-ca)) ≥ 12+5(1/c+1/a)+(c+a).
于是36(a+b)/(ab(4-ab))+36(b+c)/(bc(4-bc))+36(c+a)/(ca(4-ca))
≥ 36+10(1/a+1/b+1/c)+2(a+b+c)
= 42+10(1/a+1/b+1/c)
而由Cauchy不等式得(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) ≥ 9,即1/a+1/b+1/c ≥ 3.
代入即得:36(a+b)/(ab(4-ab))+36(b+c)/(bc(4-bc))+36(c+a)/(ca(4-ca)) ≥ 72.
同理(b²+3c²)/(bc²(4-bc)) ≥ 2(b+c)/(bc(4-bc)),(c²+3a²)/(ca²(4-ca)) ≥ 2(c+a)/(ca(4-ca)).
只需证明:36(a+b)/(ab(4-ab))+36(b+c)/(bc(4-bc))+36(c+a)/(ca(4-ca)) ≥ 72.
而36(a+b)/(ab(4-ab)) = 9(a+b)(1/(ab)+1/(4-ab))
= 9/b+9/a+9a/(4-ab)+9b/(4-ab)
= 9a/(4-ab)+(4-ab)/a+9b/(4-ab)+(4-ab)/b+5/a+5/b+a+b
≥ 6+6+5/a+5/b+a+b
= 12+5(1/a+1/b)+(a+b).
同理36(b+c)/(bc(4-bc)) ≥ 12+5(1/b+1/c)+(b+c),36(c+a)/(ca(4-ca)) ≥ 12+5(1/c+1/a)+(c+a).
于是36(a+b)/(ab(4-ab))+36(b+c)/(bc(4-bc))+36(c+a)/(ca(4-ca))
≥ 36+10(1/a+1/b+1/c)+2(a+b+c)
= 42+10(1/a+1/b+1/c)
而由Cauchy不等式得(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) ≥ 9,即1/a+1/b+1/c ≥ 3.
代入即得:36(a+b)/(ab(4-ab))+36(b+c)/(bc(4-bc))+36(c+a)/(ca(4-ca)) ≥ 72.
一道不等式证明题已知a,b,c>0,且ab+bc+ca=1.求证:[(1/a)+6b]^(1/3)+[(1/b)+6c]
设a,b,c为实数,且|a|+a=0|ab|=ab,|c|=c,化简√b+|a+b|-√(c-b)²+|a-c
竞赛题 正数a,b,c满足a²+b²+c²+4≦ab+3b+2c,求a,b,c的值
一道数学题,有点难度哦已知a≥b≥c≥0 ,且a+b+c=3 ,求证:ab²+bc²+ca²
已知a,b,c∈R+,求证:ab+bc+ca=3abc.求证ab/a+b + bc/b+c + ca/c+a≥3/2 急
设a,b属于R+且a+b=3,则ab²的最大值
1.a,b,c∈R+且a+b=c,求证a^2/3+b^2/3>c^2/3 2.ab>0,比较3√a-3√b与3√a-b的
数学不等式证明:已知a,b,c属于R,求证a^2+b^2>=ab+a+b-1.
用柯西不等式解这道题a,b,c∈R+,且a+b+c=1求证a²+b²+c²≥1/3
设a>b>c求证bc²+ca²+ab²<b²c+c²a+a²
设a>b>c,求证:bc²+ca²ab²<b²c+c²a+a²
设a,b=R+,且a不等于b,求证 2ab/a+b