作业帮已知函数f(x)=ax³+x²-ax 讨论函数g(x)=f(x)/x-lnx的单调区间
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/07/18 00:10:08
已知函数f(x)=ax³+x²-ax 讨论函数g(x)=f(x)/x-lnx的单调区间
如果存在a∈【-2,-1】,使函数h(x)=f(x)+f'(x),x∈【-1,b】在x=-1除取到最小值,试求b的最大值
如果存在a∈【-2,-1】,使函数h(x)=f(x)+f'(x),x∈【-1,b】在x=-1除取到最小值,试求b的最大值
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f(x)=ax³+x²-ax
g(x)=f(x)/x-lnx=ax²+x-a-lnx (x>0)
g'(x)=2ax+1-1/x=(2ax²+x-1)/x
当a=0时,g'(x)=(x-1)/x
g(x)增区间为(1,+∞),减区间(0,1)
当a>0时,
由g'(x)=0 即2ax²+x-1=0
解得x=[-1-√(1+8a)]/(4a)（舍去）或x=[-1+√(8a+1)]/(4a)
∴递减区间为(0,[-1+√(8a+1)]/(4a) )
递增区间为( [-1+√(8a+1)]/(4a) ),+∞)
当a a≥-1/8
∴-1/80
不等式①可化为ax²+（2a+1）x+（1-3a）≥0…②
令k（x）=ax²+（2a+1）x+（1-3a）,
∵a∈[-2,-1]∴k(x)图象是开口向下的抛物线,
故它在闭区间的最小值必在区间端点处取得．
又k(-1）=-4a＞0,
∴②成立的充要条件是k（b）≥0,
即 ab²+(2a+1)b+1-3a≥0
∴a(b²+2b-3)+b+1≥0
∵b>-1,b+1>0
即 a(b²+2b-3)/(b+1)≥-1
∴(b²+2b-3)/(b+1)≤-1/a
∵a∈[-2,-1],∴-1/a∈[1/2,1]
又对于a存在即可
∴(b²+2b-3)/(b+1)≤1
∵b+1>0
∴b²+b-4≤0
解得(-1-√17)/2≤b≤(-1+√17)/2
即b的√最大值为(-1+√17)/2
就这样吧,应该没问题,不清楚的地方,
f(x)=ax³+x²-ax
g(x)=f(x)/x-lnx=ax²+x-a-lnx (x>0)
g'(x)=2ax+1-1/x=(2ax²+x-1)/x
当a=0时,g'(x)=(x-1)/x
g(x)增区间为(1,+∞),减区间(0,1)
当a>0时,
由g'(x)=0 即2ax²+x-1=0
解得x=[-1-√(1+8a)]/(4a)（舍去）或x=[-1+√(8a+1)]/(4a)
∴递减区间为(0,[-1+√(8a+1)]/(4a) )
递增区间为( [-1+√(8a+1)]/(4a) ),+∞)
当a a≥-1/8
∴-1/80
不等式①可化为ax²+（2a+1）x+（1-3a）≥0…②
令k（x）=ax²+（2a+1）x+（1-3a）,
∵a∈[-2,-1]∴k(x)图象是开口向下的抛物线,
故它在闭区间的最小值必在区间端点处取得．
又k(-1）=-4a＞0,
∴②成立的充要条件是k（b）≥0,
即 ab²+(2a+1)b+1-3a≥0
∴a(b²+2b-3)+b+1≥0
∵b>-1,b+1>0
即 a(b²+2b-3)/(b+1)≥-1
∴(b²+2b-3)/(b+1)≤-1/a
∵a∈[-2,-1],∴-1/a∈[1/2,1]
又对于a存在即可
∴(b²+2b-3)/(b+1)≤1
∵b+1>0
∴b²+b-4≤0
解得(-1-√17)/2≤b≤(-1+√17)/2
即b的√最大值为(-1+√17)/2
就这样吧,应该没问题,不清楚的地方,
已知函数f(x)=lnx+ax,求f(x)的单调区间
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求函数f(x)=lnx-ax+1/2x^2的单调区间
求函数f（x）=lnx-ax+1/2x^2的单调区间