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如图3,正方形ABCD中,AB=2,BC=BE,PM⊥BD,PN⊥BC,则PM+PN= ( )

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/06 22:41:34
如图3,正方形ABCD中,AB=2,BC=BE,PM⊥BD,PN⊥BC,则PM+PN= ( )
好久没做过了,所以想不出好的方法来,我的笨解法给你做个参考吧:
分两步来做:
第一步:
自己重新画个特殊图:(P点定在CE的中点,连接AC,交BD于O)自己画,图我插不进去
因为:⊿BCE是等腰三角形,BP是平分线,PM⊥BD, PN⊥BC,
所以:PM=PN
因为ABCD是正方形,
所以:AC ⊥BD,所以⊿EMP相似⊿EOC
因为:EP=1/2 EC,⊿EMP相似⊿EOC
所以:PM=1/2 OC
因为:PM=PN
所以:PM+PN=OC
因为:AB=2,所以OC=根号2 
所以:PM+PN=根号2
第二步:证明P不是CE中点时,PM+PN=P'M'+P'N'(P'是中点时)
(自己画下图,把P和P'画在同一张图上,然后证明)(画辅助线P⊥P'm'于G,P'⊥PN于G')以下是简单证明过程
因为:PM‖P'M'  PN‖P'N'
所以:PG'=P'G
所以:PM+PN=P'M'+P'N' 
解法二:(加辅助线BP)
因为:S⊿BPE=PM*BE/2  ,BE=2;
所以PM=S⊿BPE
因为:S⊿BPC=PN*BC/2  ,BC=2;
所以:PN=S⊿BPC
所以:PM+PN=S⊿BEC
(加辅助线AC)
因为:S⊿BEC=OC*BE/2  OC=根号2,BE=2;
所以:PM+PN=S⊿BEC=根号2