已知a>0,b>0,求证√a+√b+√ab≤a+b+1
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/06 07:47:51
已知a>0,b>0,求证√a+√b+√ab≤a+b+1
证明:
令A=√a,B=√b
则我们要证明的变为
A+B+AB≤A²+B²+1
即
A+B-AB-1≤A²+B²-2AB
即
(A-1)(1-B)≤(A-B)²
若(A-1)(1-B)是一个负数或零,则上式当然成立.
下面我只考虑(A-1)(1-B)>0的情况.
即A>1同时B<1,或者A<1同时B>1.
先看A>1同时B<1的情况.
设A-1=M>0,1-B=N>0,那么我们要证明
MN≤(A-B)²=[(A-1)+(1-B)]²=(M+N)²
即要证明
MN≤M²+N²+2MN
即要证明
0≤M²+N²+MN
这是显然的.
对于A<1同时B>1的情况,可类似地证明.完.
令A=√a,B=√b
则我们要证明的变为
A+B+AB≤A²+B²+1
即
A+B-AB-1≤A²+B²-2AB
即
(A-1)(1-B)≤(A-B)²
若(A-1)(1-B)是一个负数或零,则上式当然成立.
下面我只考虑(A-1)(1-B)>0的情况.
即A>1同时B<1,或者A<1同时B>1.
先看A>1同时B<1的情况.
设A-1=M>0,1-B=N>0,那么我们要证明
MN≤(A-B)²=[(A-1)+(1-B)]²=(M+N)²
即要证明
MN≤M²+N²+2MN
即要证明
0≤M²+N²+MN
这是显然的.
对于A<1同时B>1的情况,可类似地证明.完.
已知a>b>0,求证:(a-b)^2/8a < (a+b)/2 -√ab < (a-b)^2/8b
已知a>0,b>0,求证2/(1/a+1/b)≤√ab
已知a>0,b>0,求证a/(1+a^2)+b/(1+b^2)≤(a+b)/(1+ab)
【高二数学】已知a>b>0,求证:(a-b)²/8a < (a+b)/2— √(ab)< (a-b)²
已知a>b,ab>0,求证1/a
已知ab>0,求证ab+1/ab+b/a+a/b≥4
已知a>b>0,求证a^ab^b>(ab)^[(a+b)/2]
已知a>b>0,求证:(a-b)^2/8a < (a+b/2)-跟号ab
已知a,b都是正实数,求证:ab+4a+b+4>=8√ab
已知a>0b>0,求证a^3+b^3>=a^2b+ab^2
已知ab ≠0 求证a+b=1的充要条件是 a+b+ab-a-b=0
已知a+b>0,求证a^3-a^2b大于ab^2-b^3