在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为abc,且A,B,C,成等差数列

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/09/14 15:19:22

在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为abc,且A,B,C,成等差数列
（1）若b=√13,a=3 求c值
（2）设t=sinAsinC求t的最大值

由ABC成等差数列,则有2B=A+C,又A+B+C=π,所以,B=π/3
①由正弦定理得：a/sinA=b/sinB=c/sinC,所以,sinA=asinB/b=3×(√3/2)/√13=3√39/26
由于,a=3＜b=√13,所以A＜B=π/3,则,cosA=√（1-sin²A）=5√13/26
sinC=sin（π-A-B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
=（3√39/26）×（1/2）+5√13/26×（√3/2）
=7√39/52
所以,c=bsinC/sinB=√13×（7√39/52）/（√3/2）=7/2
②t=sinAsinC =sin（π-B-C）sinC=sin(2π/3-C)sinC
=(sin2π/3×cosC-cos2π/3×sinC)sinC
=（√3/2）sinCcosC-(1/2）sin²C
=（√3/4）sin2C-(1/4）(1-cos2C)
=（√3/4）sin2C+(1/4）cos2C-1/4
=（1/8）sin（2C+π/6）-1/4
由于,0＜C＜2π/3,所以,π/6＜2C+π/6＜3π/2
所以当sin（2C+π/6）=sin（π/2）=1时,t取得最大值
即t=1/8-1/4=-1/8
再问：我用余弦定理算怎么第一问等于4啊
再答： B=60° b^2=a^2+c^2-2accosB b=√13，a=3，cosB=1/2 二次方程自己解吧
再问：是啊，就是这个怎么算都得4和-1（舍）
再答：我比较喜欢用正弦定理算，不过用余弦定理算确实没错，可能是我中间步骤出错了由ABC成等差数列，则有2B=A+C,又A+B+C=π，所以，B=π/3 ①由正弦定理得：a/sinA=b/sinB=c/sinC，所以，sinA=asinB/b=3×(√3/2)/√13=3√39/26 由于，a=3＜b=√13，所以A＜B=π/3，则，cosA=√（1-sin²A）=5√13/26 sinC=sin（π-A-B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB =（3√39/26）×（1/2）+5√13/26×（√3/2） =2√39/13 所以，c=bsinC/sinB=√13×（2√39/13）/（√3/2）=4 我算错了个数
再问：好吧好吧，谢谢了，不过我第三问也有点不一养。
再答：这得用和差化积公式