（2010•惠州模拟）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/07/14 08:28:56

（2010•惠州模拟）如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AB的中点
（1）若F为AA₁的中点，求证：EF∥面DD₁C₁C；
（2）若F为AA₁的中点，求二面角A-EC-D₁的余弦值．

（1）证明：连接A₁B；
∵E为AB的中点，F为AA₁的中点，
∴EF∥A₁B （2分）
又A₁B∥D₁C∴EF∥D₁C
∴EF∥面DD₁C₁C
（2）设二面角A-EC-D₁的大小为θ，设正方体的棱长为2，
由（1）知F，D₁，C，E四点共面，且四边形为等腰梯形，
又S梯形EFD1C＝
1
2×
3
2
2×3
2＝
9
2，S梯形ADCE＝
1
2×2×3＝3
∴cosθ＝
S梯形ADCE
S梯形EFD1C＝
3

9
2＝
2
3∴二面角A-EC-D₁的余弦值为
2
3．

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