如图,在侧棱垂直底面的四棱锥ABCD-A1B1C1D1中,AD平行BC,AD⊥AB,AB=√2,AD=2,BC=4,AA

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/09/14 10:41:04

如图,在侧棱垂直底面的四棱锥ABCD-A1B1C1D1中,AD平行BC,AD⊥AB,AB=√2,AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中点,F是平面B1C1E与直线AA1的交点
（1）证明 1、EF平行A1D1,2、BA1⊥平面B1C1EF（详细过程
（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值（详细过程

（1）（i）先由C1B1∥A1D1证明C1B1∥平面ADD1A1,再由线面平行的性质定理得出C1B1∥EF,证出EF∥A1D1．
（ii）易通过证明B1C1⊥平面ABB1A1得出B1C1⊥BA1,再由tan∠A1B1F=tan∠AA1B= 2
2
,即∠A1B1F=∠AA1B,得出BA1⊥B1F．所以BA1⊥平面B1C1EF；
（2）设BA1与B1F交点为H,连接C1H,由（1）知BA1⊥平面B1C1EF,所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角．在RT△BHC1中求解即可．（1）证明（i）∵C1B1∥A1D1,C1B1⊄平面ADD1A1,∴C1B1∥平面ADD1A1,
又C1B1⊂平面B1C1EF,平面B1C1EF∩平面平面ADD1A1=EF,
∴C1B1∥EF,∴EF∥A1D1；
（ii）∵BB1⊥平面A1B1C1D1,∴BB1⊥B1C1,
又∵B1C1⊥B1A1,
∴B1C1⊥平面ABB1A1,
∴B1C1⊥BA1,
在矩形ABB1A1中,F是AA1的中点,tan∠A1B1F=tan∠AA1B= 2 2 ,即∠A1B1F=∠AA1B,故BA1⊥B1F．
所以BA1⊥平面B1C1EF；
（2）设BA1与B1F交点为H,
连接C1H,由（1）知BA1⊥平面B1C1EF,所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角．
在矩形AA1B1B中,AB= 2 ,AA1=2,得BH=4 6 ,
在RT△BHC1中,BC1=2 5 ,sin∠BC1H=BH/ BC1 = 根号30/ 15 ,
所以BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值是根号 30/ 15 ．
参考:
⑴①∵C1B1∥A1D1,C1B1不属于平面ADD1A1,
∴C1B1∥平面ADD1A1,
又C1B1∈平面B1C1EF,平面B1C1EF∩平面ADD1A1=EF,
∴C1B1∥EF,
∴EF∥A1D1；
②∵BB1⊥平面A1B1C1D1,
∴BB1⊥B1C1,
又∵B1C1⊥B1A1,
∴B1C1⊥平面ABB1A1,
∴B1C1⊥BA1,
在矩形ABB1A1中,F是AA1的中点,
∴tan∠A1B1F=tan∠AA1B=√2/2
即∠A1B1F=∠AA1B,
∴BA1⊥B1F．
∴BA1⊥平面B1C1EF；
（2）设BA1与B1F交点为H,
连接C1H,由（1）知BA1⊥平面B1C1EF,
∴∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角．
在矩形AA1B1B中,AB=√2,AA1=2,得
BH=2√6/3
在RT△BHC1中,BC1=2√5
∴sin∠BC1H=BH/BC1=√30/15
∴BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值是√30/15

如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,AD平行BC,AD垂直AB,AB=根号二,AD=2,BC=4, 如图,在四棱锥P－ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AD=CD,BC=2AD,BC平行AD ,AD⊥DC 如图,四棱锥P-ABCD中,PB⊥底面ABCD,CD⊥PD,底面ABCD为直角梯形,AD平行BC,AB=AD=PB 如图,在四棱锥P-ABCD中,AD//BC,AD=2BC,AB=PB,PC垂直BD，AC垂直BD，E为PA中点。求证：四棱锥P-ABCD中,PA垂直ABCD,PC垂直AD,底面ABCD为梯形,AB平行DC,AB垂直BC,PA=AB=BC, 已知四棱柱ABCD一A1B1C1D1的侧棱AA1垂直于底面,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AD=AA1 如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为直角梯形,AB平行CD,AB垂直AD,AB=AD=AA1=2C 在四棱锥P-ABCD中PA,AB,AD两两真垂直,已知AD//BC,BC=2AD,E是PB的中点:(1)求证AE//面P 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AD//BC，AB=AD=1/2BC，角ABC=60°，平面PAB垂直平面AB 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,地面四边形ABCD是直角梯形,AB垂直于AD,AB=BC=1,且AD=根号二AA 如图在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,PA=PD=2,底面ABCD为直角梯形,其中BC平行于AD,AB垂如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是一个直角梯形,角BAD=90,AD平行于BC,AB=BC=a,且PA垂直于底