如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=BB1=1,点D是BC的中点.1.求证A1C∥平面AB1

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/18 20:15:05

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=BB1=1,点D是BC的中点.1.求证A1C∥平面AB1D 2.求二面角B1
求二面角B1-AD-B的余弦值 3.判断在线段B1B上是否存在一点M.使得A1M⊥B1D?若存在,求出B1M/B1B的值,若不存在,说明理由

使用向量法

（1）证明：以C为坐标原点,建立如图所示的坐标系,
∵AC=BC=BB1=1,则A1（1,0,1）,C（0,0,0）,D（0,1/2,0）,A（1,0,0）,B1（0,1,1）,B（0,1,0）
∴向量A1C=(-1,0,-1),
向量AD=(-1,1/2,0),
向量AB1=(-1,1,1)
设平面AB1D的法向量为向量n=（x,y,z）,则由
向量n·向量AD=0
向量n·向量AB1=0
-x+1/2y=0
-x+y+z=0
故可取向量n=（1,2,-1）
∵向量A1C·向量n=0,
∴A1C∥平面AB1D
（2）
由（1）知平面AB1D的法向量为n=（1,2,-1）,平面ABD的法向量为m=（0,0,1）
∴二面角B1-AD-B的余弦值为=向量m·向量n/|m|·|n|=|-1|/√6=√6/6
∴二面角B1-AD-B的正弦值为√30/6
设M（0,1,t）,则
向量A1M=（-1,1,t-1）,
向量B1D=（0,-1/2,-1）
若A1M⊥B1D,则
向量A1M·向量B1D =0,
∴-1/2-（t-1）=0,
∴t=1/2
∴B1M/B1B=1/2时,
A1M⊥B1D．

再问：　　后来我自己做也做出来了。。。不过我想问你下第1题那个法向量Y等于2了那不超出三棱柱的范围了吗不应该是（1/2,1，-1/2）合理吗？还有那个第二题的面ABD的法向量X,Y我求出来也确实等于0，Z是可以自己设的吗？
再答：向量无所谓范围问题只要满足垂直面AB1D即可所以法向量是无穷多的，解题时，以计算简单为优第二题也一样，只要自己能找到一个满足和面内相交直线（向量）垂直的向量即可，可以自己设定

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，BC=BB1，D为AB的中点．如图,已知直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC⊥BC,D为AB的中点,且AC=BC=BB1 已知直三棱柱中在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=BC=BB1,D为AC的中点,求证：如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点.（Ⅰ）求证AC⊥BC 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点,（1）求证：AC⊥B 【高中数学=立体几何】如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AC=BC=3,D为AB中点,AB1⊥ 在直三棱柱ABC-A1B1C1（直棱柱指侧棱垂直于底面）,AB=BB1=BC,∠ABC是直角,D为AC的中点. 如图所示,在三棱柱ABC——A1B1C1中,AC=BC=BB1,D为AB的中点,求证:BC1//平面CA1D 数学如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1 中,AC=BC=BB1,D为AB中点,求证:BC1∥平面CA1D 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点．如图：直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°．E为BB1的中点，D点在AB上且DE=3