向量组的线性相关与无关的题：若A为3阶方阵 α为3维列向量

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/17 09:45:22

向量组的线性相关与无关的题：若A为3阶方阵 α为3维列向量
若A为3阶方阵,α为3维列向量,一直向量组α,Aα,A²α线性无关,且A³α=5Aα-3A²α,求证矩阵 B=(α,Aα,A^4α)可逆.
我的想法是：可以把题目转化为α,Aα,A²α线性无关,Aα,A²α,A³α线性相关,求证α,Aα,A^4α线性无关.不过还是没做出来.

一楼答了一部分关键部分没有.
证明:
A^4α
=A(A^3α)
=A(5Aα-3A^2α)
=5A^2α-3A^3α
=5A^2α-3(5Aα-3A^2α)
=5A^2α-15Aα+9A^2α
=14A^2α-15Aα
B=(α,Aα,A^4α) = (α,Aα,14A^2α-15Aα) = (α,Aα,A^2α)K
其中 K =
1 0 0
0 1 -15
0 0 14
因为 |K|=14≠0, 所以 K 可逆.
又由已知α,Aα,A^2α线性无关, 所以 (α,Aα,A^2α)可逆
故 B=(α,Aα,A^2α)K 可逆.

若向量a1,a2线性无关,而a1,a2,a3线性相关,则向量组a1,2a2,3a3的极大线性无关组为线性代数：设 A为n阶方阵,若∣A ∣等于0,则A的列向量组线性（）,行向量组线性（） A为5*6矩阵,则矩阵AT*A的列向量组线性相关还是无关? A为三阶方阵a为三维列向量 a,Aa,A的平方a线性无关,A立方a=5Aa-3A平方a,求证矩阵【a,Aa,A四次方a】设A为n阶方阵,α1,α2,...,αn为线性无关的n个n维列向量.证明:R(A)=n﹤=﹥ Aα1,Aα2,...,A n维列向量组a1...an线性无关 A是n阶方阵如果Aa1...Aan线性相关则|A|=? 设A为n×s矩阵,A的列向量组线性无关,证明存在列向量线性无关的B,使得P=（A,B)可逆,且如果A矩阵列向量线性相关那么A矩阵是否行向量也线性相关由A列向量线性相关得出A的行列式为0 证明：若n阶矩阵A的列向量线性无关,则A^2的列向量也线性无关. 证明:若n阶矩阵A的列向量线性无关,则A^2的列向量也线性无关. 已知向量组a1a2a3线性无关,向量组a1a2a3a4线性相关,向量组a1a2a3a4的秩为4,证明a1a2a3a5-a 设n维列向量组a1,a2,---,as线性无关,则n维列向量组b1,b2,bs线性无关的充分必要条件为