作业帮我的推导过程哪儿出了问题?麻烦帮忙看一看.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：物理作业 时间：2024/10/03 05:29:16
我的推导过程哪儿出了问题?麻烦帮忙看一看.
题有点长,希望各位能够耐心看完.
弹簧振子的周期的推导.弹簧拴住小球,在水平光滑面振动.弹簧劲度系数是k,小球质量是m.
设小球最大位移为x,从最大位移到平衡位置这个过程的平均作用力为F（注意F是平均作用力）,用的时间为t.
从最大位移到平衡位置由动能定理得：Fx=0.5mv^2 (1)
弹簧的弹性势能Ep=0.5kx^2 (2)
由能量守恒得Ep=0.5mv^2,所以Fx=0.5mv^2=Ep=0.5kx^2,于是v=x根号下（k/m） (3)
根据Ep=0.5mv^2=Fx还可得Fx=0.5kx^2 => F=0.5kx (4)
从最大位移到平衡位置再由动量定理可得：Ft=mv,将（4）代入得0.5kxt=mv
所以v=0.5kxt/m,由（3）知v=x根号下（k/m）
于是又得到：x根号下（k/m）=0.5kxt/m
所以解出时间t=2根号下（m/k）
所以周期T=4t=8根号下（m/k）
但是正确的应该是T=2π根号下（m/k）,似乎就差一个π,请问以上哪儿有问题?各位高手帮帮忙!
这个证法是我自己想出的,正确的证法我已经看过.如果有什么很白痴的错误,还请原谅.
先说声谢谢.
“其中，kx/m表示小球的平均加速度”请问，x不是最大位移吗？那kx不是最大弹力吗？kx/m不是最大加速度吗？为什么又变成平均加速度了呢？
希望 wulihomehao能解释一下你的回答，先谢谢你了！
题有点长,希望各位能够耐心看完.
弹簧振子的周期的推导.弹簧拴住小球,在水平光滑面振动.弹簧劲度系数是k,小球质量是m.
设小球最大位移为x,从最大位移到平衡位置这个过程的平均作用力为F（注意F是平均作用力）,用的时间为t.
从最大位移到平衡位置由动能定理得：Fx=0.5mv^2 (1)
弹簧的弹性势能Ep=0.5kx^2 (2)
由能量守恒得Ep=0.5mv^2,所以Fx=0.5mv^2=Ep=0.5kx^2,于是v=x根号下（k/m） (3)
根据Ep=0.5mv^2=Fx还可得Fx=0.5kx^2 => F=0.5kx (4)
从最大位移到平衡位置再由动量定理可得：Ft=mv,将（4）代入得0.5kxt=mv
所以v=0.5kxt/m,由（3）知v=x根号下（k/m）
于是又得到：x根号下（k/m）=0.5kxt/m
所以解出时间t=2根号下（m/k）
所以周期T=4t=8根号下（m/k）
但是正确的应该是T=2π根号下（m/k）,似乎就差一个π,请问以上哪儿有问题?各位高手帮帮忙!
这个证法是我自己想出的,正确的证法我已经看过.如果有什么很白痴的错误,还请原谅.
先说声谢谢.
“其中，kx/m表示小球的平均加速度”请问，x不是最大位移吗？那kx不是最大弹力吗？kx/m不是最大加速度吗？为什么又变成平均加速度了呢？
希望 wulihomehao能解释一下你的回答，先谢谢你了！
错就错在Ft=mv这个式子上
你这里的F是平均作用力,t是时间
要知道在由最大位移到平衡点的过程中弹力F'并不是时间的一次函数
实际的情况是弹力F'是位移x的一次函数,所以∑F'x可以用Fx来表示
也就是说弹力F'在时间t上并不是平均分布
所以平均作用力F的冲量是不能代替非恒力F'的冲量的,故而此处将F绑架入冲量定理是不成立的!
弹簧振子周期的推导用初等数学的方法我不会,我只能给出高等数学的推导方法!
弹簧振子
F=-kx
a=d^2x/dt^2
=-(k/m)x=-ω^2x ω=√（k/m）
d^2x/dt^2+ω^2x=0
解微分方程
得：x=Acos(ωt+φ)
ω=2π/T
T=2π/ω=2π√（m/k）
针对楼主的补充展开分析如下：
你的整个问题的分析应该说条理还是清楚的,思路上也没问题.
真正的问题出现了对“平均作用力”的理解上,根据你的理解,平均作用力其实就是最大作用力与最小作用力的平均值,也就是F=0.5(Fmax+0)=0.5.
（下面的分析可能会参杂一些微积分的思想）
很多与时间t或位移L相关的物理量会表现为一种累积效应,这种累积效应用公式表达就是A=B*C,我们把它说成A是B在C上的累积效应.
比如速度v是加速度a在时间t上的累积效应(v=at),功W是力F在位移L上的累积效应(W=FL),冲量I是力F在时间t上累积效应（I=Ft）等等.
很多物理量都是变化的,并非恒量,在数学上处理起来非常不方便.
为了数学处理上的方便,人们就引入了平均值这个概念.所谓平均值,其实是等效值.比如一个变量在位移L(或时间t内)的累积效应=某个恒量在位移L(或时间t内)的累积效应,这个恒量就是一个等效值,也就是平均值.
比如,我们经常用的平均速度这个概念,一个初速度为v0的加速度为a的匀加速运动的平均速度一定是这么来的,
S=vot+0.5at^2,所以能看得出来位移S是速度v在时间t上的累积效应,但是速度v是个变量.
为了找到一个恒量v'来等效于变量v=v0+at在时间t内的累积效用,所以得到
v't=vot+0.5att,得到
v'=v0+0.5at,又由于v1=v0+at,得到at=v1-v0,代入可得
v'=0.5(v0+v1)
我们就得到了平均速度的表达式,假如v0=0,那么此表达式就更加简洁了
v'=0.5v1
我们回过头来,我们得到的平均速度v'其实是初速度v0和末速度v1的算术平均数.
你这里的F是平均作用力,t是时间
要知道在由最大位移到平衡点的过程中弹力F'并不是时间的一次函数
实际的情况是弹力F'是位移x的一次函数,所以∑F'x可以用Fx来表示
也就是说弹力F'在时间t上并不是平均分布
所以平均作用力F的冲量是不能代替非恒力F'的冲量的,故而此处将F绑架入冲量定理是不成立的!
弹簧振子周期的推导用初等数学的方法我不会,我只能给出高等数学的推导方法!
弹簧振子
F=-kx
a=d^2x/dt^2
=-(k/m)x=-ω^2x ω=√（k/m）
d^2x/dt^2+ω^2x=0
解微分方程
得：x=Acos(ωt+φ)
ω=2π/T
T=2π/ω=2π√（m/k）
针对楼主的补充展开分析如下：
你的整个问题的分析应该说条理还是清楚的,思路上也没问题.
真正的问题出现了对“平均作用力”的理解上,根据你的理解,平均作用力其实就是最大作用力与最小作用力的平均值,也就是F=0.5(Fmax+0)=0.5.
（下面的分析可能会参杂一些微积分的思想）
很多与时间t或位移L相关的物理量会表现为一种累积效应,这种累积效应用公式表达就是A=B*C,我们把它说成A是B在C上的累积效应.
比如速度v是加速度a在时间t上的累积效应(v=at),功W是力F在位移L上的累积效应(W=FL),冲量I是力F在时间t上累积效应（I=Ft）等等.
很多物理量都是变化的,并非恒量,在数学上处理起来非常不方便.
为了数学处理上的方便,人们就引入了平均值这个概念.所谓平均值,其实是等效值.比如一个变量在位移L(或时间t内)的累积效应=某个恒量在位移L(或时间t内)的累积效应,这个恒量就是一个等效值,也就是平均值.
比如,我们经常用的平均速度这个概念,一个初速度为v0的加速度为a的匀加速运动的平均速度一定是这么来的,
S=vot+0.5at^2,所以能看得出来位移S是速度v在时间t上的累积效应,但是速度v是个变量.
为了找到一个恒量v'来等效于变量v=v0+at在时间t内的累积效用,所以得到
v't=vot+0.5att,得到
v'=v0+0.5at,又由于v1=v0+at,得到at=v1-v0,代入可得
v'=0.5(v0+v1)
我们就得到了平均速度的表达式,假如v0=0,那么此表达式就更加简洁了
v'=0.5v1
我们回过头来,我们得到的平均速度v'其实是初速度v0和末速度v1的算术平均数.
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