作业帮一道关于三角形重心的数学问题.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/16 13:53:38
一道关于三角形重心的数学问题.
今天,看到一道关于三角形的重心的问题,想了很久,我居然忘记了重心分中线是2：1.于是把重心研究了一番,想到了一个问题,看有没有人想过这个问题.
记三角形的重心(三条中线的交点)为G,过点G作直线l,交ΔABC于P,Q两点,并将三角形分成两块,记面积较小的那一块面积为S1,面积较大的那一块面积为S2, ΔABC的面积为S,求S1:S的取值范围.
今天,看到一道关于三角形的重心的问题,想了很久,我居然忘记了重心分中线是2：1.于是把重心研究了一番,想到了一个问题,看有没有人想过这个问题.
记三角形的重心(三条中线的交点)为G,过点G作直线l,交ΔABC于P,Q两点,并将三角形分成两块,记面积较小的那一块面积为S1,面积较大的那一块面积为S2, ΔABC的面积为S,求S1:S的取值范围.
直线位置的不确定性造成了分割出来的面积的不确定,就是提问者所求了.
1、直线过三角形任意一点,此时直线平分三角形S1：S=1：2
2、直线平行于一边,相信以你能提出这问题的水平,很容易得到S1：S=4：9
3、直线夹于第1、2种情况之外
结果：[4/9,1/2]
换句话说：过重心的直线分三角形的面积之差,不超过1/9
完善下答案,题目也可以转换为：求,任意一条过重心的直线分原三角形,求这两个被分割的三角形面积的最大差值和最小差值,可以理解吧?
自己重新看下面的画图吧.
设△ABC重心为G,过点G分别作各边的平行线与各边交点依次为A1、B1、B2、C1、C2、A2连接A1A2；B1B2、C1C2,根据重心的性质可得A1A=A1Bl=B1B,BB2=B2Cl=C1C,CC2=C2A2=A2A,从而求得图中的9个三角形全等,即9个小三角形的面积均等于△ABC面积的1/9设△ABC重心为G,过点G分别作各边的平行线与各边交点依次为A1、B1、B2、C1、C2、A2,连接A1A2；B1B2、C1C2,
∵三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的二倍,
∴A1A=A1Bl=B1B,BB2=B2Cl=C1C,CC2=C2A2=A2A,
∵A1A2∥BC,B1B2∥AC,C1C2∥AB,
∴图中的9个三角形全等．
即△AA1A2≌△A1B1G≌△B2GB1≌≌△C2ClC
所以上述9个小三角形的面积均等于△ABC面积的1/9
若过点C作的直线恰好与直线A1C1、B1C2、B2A2重合,则△ABC被分成的两部分的面积之差等于一个小三角形的面积,即等于△ABC面积的1/9
若过点C作的直线不与直线A1C1、B1C2、B2A2重合,不失一般性,设此直线交AC于F,交AB于E,交C1C2于D,
∵GBl=GC2,∠EB1G=∠DC2C,∠B1GE=∠C2GD,
∴△B1GE≌△C2GD、
∴EF分△ABC成两部分的面积之差等于S△C2DF-S四边形DFCC1
而这个差的绝对值不会超过S△C1C2C的面积．
从而EF分△ABC成两部分的面积之差不大于△ABC面积的1/9.
1、直线过三角形任意一点,此时直线平分三角形S1：S=1：2
2、直线平行于一边,相信以你能提出这问题的水平,很容易得到S1：S=4：9
3、直线夹于第1、2种情况之外
结果：[4/9,1/2]
换句话说：过重心的直线分三角形的面积之差,不超过1/9
完善下答案,题目也可以转换为：求,任意一条过重心的直线分原三角形,求这两个被分割的三角形面积的最大差值和最小差值,可以理解吧?
自己重新看下面的画图吧.
设△ABC重心为G,过点G分别作各边的平行线与各边交点依次为A1、B1、B2、C1、C2、A2连接A1A2；B1B2、C1C2,根据重心的性质可得A1A=A1Bl=B1B,BB2=B2Cl=C1C,CC2=C2A2=A2A,从而求得图中的9个三角形全等,即9个小三角形的面积均等于△ABC面积的1/9设△ABC重心为G,过点G分别作各边的平行线与各边交点依次为A1、B1、B2、C1、C2、A2,连接A1A2；B1B2、C1C2,
∵三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的二倍,
∴A1A=A1Bl=B1B,BB2=B2Cl=C1C,CC2=C2A2=A2A,
∵A1A2∥BC,B1B2∥AC,C1C2∥AB,
∴图中的9个三角形全等．
即△AA1A2≌△A1B1G≌△B2GB1≌≌△C2ClC
所以上述9个小三角形的面积均等于△ABC面积的1/9
若过点C作的直线恰好与直线A1C1、B1C2、B2A2重合,则△ABC被分成的两部分的面积之差等于一个小三角形的面积,即等于△ABC面积的1/9
若过点C作的直线不与直线A1C1、B1C2、B2A2重合,不失一般性,设此直线交AC于F,交AB于E,交C1C2于D,
∵GBl=GC2,∠EB1G=∠DC2C,∠B1GE=∠C2GD,
∴△B1GE≌△C2GD、
∴EF分△ABC成两部分的面积之差等于S△C2DF-S四边形DFCC1
而这个差的绝对值不会超过S△C1C2C的面积．
从而EF分△ABC成两部分的面积之差不大于△ABC面积的1/9.