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如图，斜率为1的直线过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，与抛物线交于两点A、B，将直线AB按向量a＝(−p，0)平移得

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/07/19 18:45:06
如图，斜率为1的直线过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，与抛物线交于两点A、B，将直线AB按向量
a
＝(−p，0)
（Ⅰ）由条件知lAB：y＝x−
p
2，则

y＝x−
p
2
y2＝2px，消去x得：x2−3px+
1
4p2＝0①，则x1+x2=3p，
由抛物线定义|AB|=x1+x2+p=4p，
又因为|AB|=8，即p=2，则抛物线方程为y2=4x．---------------------------（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知|AB|=4p和lAB：y＝x−
p
2，设M(

y20
2p，y0)，
则M到AB距离：d＝
|−
1
2p
y20+y0+
p
2|

2，因M，O在直线AB的同侧，所以−
1
2p
y20+y0+
p
2＞0，
则d＝

2
2(−
1
2p
y20+y0+
p
2)，即d＝

2
2[−
1
2p(y0−p)2+p]，
由①知A(
3−2
2
2p，(1−
2)p)，B(
3+2
2
2p，(1+
2)p)
所以(1−
2)p＜y0＜(1+
2)p，则当y0=p时，dmax＝

2
2p，
则(S△ABM)max＝
1
2•4p•

2
2p＝
2p2．---------------------------------------（8分）
（Ⅲ）设N(x0，x0+
p
2)，A（x1，y1），B（x2，y2），
则

NA＝(x1−x0，y1−x0−
p
2)，

NB＝(x2−x0，y2−x0−
p
2)，
即

NA•

NB＝x1x2−x0(x1+x2)+
x20+y1y2−(x0+
p
2)(y1+y2)+(x0+
p
2)2
由①知x1+x2=3p，x1x2＝
1
4p2，y1y2＝−p2，y1+y2=2p，则

NA•

NB＝2
x20−4px0−
3
2p2，
即

NA•

NB＝2(x0−p)2−
7
2p2，当x0=p时，

NA•

NB的最小值为−
7
2p2．
（其它方法酌情给分）---------------------------------------------------（12分）
过抛物线y2 =2px (p>0)焦点,且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若AB=8,求抛物线方程 已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线 已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线 （2014•湖北模拟）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点 如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于M点，过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点． 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若线段AB的中点到抛物 已知：斜率为1的直线l过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线交于A,B两点 过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作直线与抛物线交于A、B两点，以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是（　　） 过抛物线y2=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点,则|AB|的最小值为多少 .已知抛物线y^2=2PX(P＞0).直线的斜率为-1,且过抛物线的焦点F,交抛物线于A,B两点,线段AB的长为3, 1.已知抛物线y^2=2PX(P＞0).直线的斜率为-1,且过抛物线的焦点F,交抛物线于A,B两点,线段AB的长为3,求 过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若AB的长为8，则P=（　　）