(2014•湛江一模)已知f(x)=ln(x+1) , g(x)=12ax2+bx (a,
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/11/07 18:13:02
(2014•湛江一模)已知f(x)=ln(x+1) , g(x)=
ax
1 |
2 |
(1)当b=2时,h(x)=lnx−
1
2ax2−2x
∴h′(x)=
1
x−ax−2.
∵h(x)有单调减区间,
∴h'(x)<0有解,即
1−ax2−2x
x<0
∵x>0,∴ax2+2x-1>0有解.
(ⅰ)当a≥0时符合题意;
(ⅱ)当a<0时,△=4+4a>0,即a>-1.
∴a的取值范围是(-1,+∞).
(2)当a=0,b=1时,设φ(x)=f(x)-g(x)=ln(x+1)-x,
∴φ′(x)=
1
x+1−1=
−x
x+1.
∵x>-1,
讨论φ'(x)的正负得下表:
∴当x=0时φ(x)有最大值0.
即φ(x)≤0恒成立.
∴当x∈(-1,+∞)时,f(x)-g(x)≤0恒成立.
(3)∵x>0,y>0,
∴xlnx+ylny−(x+y)ln
x+y
2=x(lnx−ln
x+y
2)+y(lny−ln
x+y
2)
=xln
2x
x+y+yln
2y
x+y=−xln
x+y
2x−yln
x+y
2y=−xln(1+
y−x
2x)−yln(1+
x−y
2y)
由(2)有−xln(1+
y−x
2x)−yln(1+
x−y
2y)>−x•
y−x
2x−y•
x−y
2y=0
∴xlnx+ylny>(x+y)ln
x+y
2
1
2ax2−2x
∴h′(x)=
1
x−ax−2.
∵h(x)有单调减区间,
∴h'(x)<0有解,即
1−ax2−2x
x<0
∵x>0,∴ax2+2x-1>0有解.
(ⅰ)当a≥0时符合题意;
(ⅱ)当a<0时,△=4+4a>0,即a>-1.
∴a的取值范围是(-1,+∞).
(2)当a=0,b=1时,设φ(x)=f(x)-g(x)=ln(x+1)-x,
∴φ′(x)=
1
x+1−1=
−x
x+1.
∵x>-1,
讨论φ'(x)的正负得下表:
∴当x=0时φ(x)有最大值0.
即φ(x)≤0恒成立.
∴当x∈(-1,+∞)时,f(x)-g(x)≤0恒成立.
(3)∵x>0,y>0,
∴xlnx+ylny−(x+y)ln
x+y
2=x(lnx−ln
x+y
2)+y(lny−ln
x+y
2)
=xln
2x
x+y+yln
2y
x+y=−xln
x+y
2x−yln
x+y
2y=−xln(1+
y−x
2x)−yln(1+
x−y
2y)
由(2)有−xln(1+
y−x
2x)−yln(1+
x−y
2y)>−x•
y−x
2x−y•
x−y
2y=0
∴xlnx+ylny>(x+y)ln
x+y
2
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