(2010•福建)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E、H分别是棱A1B1,D1C1上的点(点E与B1不重合)
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(Ⅰ)证明:AD∥平面EFGH
(Ⅱ)设AB=2AA1=2a,在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点,记该点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为p,当点E、F分别在棱A1B1,B1B上运动且满足EF=a时,求p的最小值.
(Ⅰ)证明:∵AD∥A1D1,EH∥A1D1,
∴AD∥EH,
∵AD⊄平面EFGH,EH⊂平面EFGH
∴AD∥平面EFGH;
(Ⅱ)根据几何槪型的概率公式可知,点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为P=
VA1ABFE−D1DCGH
VABCD−A1B1C1D1,
∴若p最小,则只需几何体A1ABFE-D1DCGH的体积最小,即五边形A1ABFE的面积最小,等价为三角形EFB1的面积最大,
∵EF=a,
∴B1E2+B1F2=a2,
则S△B1EF=
1
2B1E•B1F≤
1
4(B1E2+B1F2)=
a2
4,当且仅当B1F=B1E时取等号,
此时五边形A1ABFE的面积最小为2a2-
a2
4=
7a2
4,
则取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为P=
VA1ABFE−D1DCGH
VABCD−A1B1C1D1=
7
8.
∴AD∥EH,
∵AD⊄平面EFGH,EH⊂平面EFGH
∴AD∥平面EFGH;
(Ⅱ)根据几何槪型的概率公式可知,点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为P=
VA1ABFE−D1DCGH
VABCD−A1B1C1D1,
∴若p最小,则只需几何体A1ABFE-D1DCGH的体积最小,即五边形A1ABFE的面积最小,等价为三角形EFB1的面积最大,
∵EF=a,
∴B1E2+B1F2=a2,
则S△B1EF=
1
2B1E•B1F≤
1
4(B1E2+B1F2)=
a2
4,当且仅当B1F=B1E时取等号,
此时五边形A1ABFE的面积最小为2a2-
a2
4=
7a2
4,
则取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为P=
VA1ABFE−D1DCGH
VABCD−A1B1C1D1=
7
8.
(2014•河南二模)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,H分别是棱A1B1,D1C1上的点(点E与B1不重
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如图,在四边形ABCD中,点E是线段AD上的任意一点(E与A,D不重合),G,F,H分别是BE,BC,CE的中点.
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已知:如图,在正方形ABCD中,AD=12,点E是边CD上的动点(点E不与端点C,D重合),AE的垂直平分线FP分别交A
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在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1=B1C1=3,BB1=4,点B1在平面A1BC1上的射影为H,求证H为△
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