一元二次方程初三竞赛试题

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/01 12:45:38

一元二次方程初三竞赛试题
求所有有理数r,使得方程rx^2+(r+1)x+(r-1)=0的所有根是整数

1.当r=0时,原方程为一元一次方程：x-1=0,根x=1为整数,符合题意~
2.当r不=0时,原方程为一元二次方程,不妨设其两根为x1,x2,由韦达定理易知：x1+x2= -(r+1)/r= -1-1/r ==> 1/r=-(x1+x2).
因为x1,x2为整数,所以x1+x2必为整数,记1/r=N,N为整数.
带入原方程,由公式求出解为：
x1=(sqrt(N^2+6N-3)-N-1)/2
x2=(-sqrt(N^2+6N-3)-N-1)/2
要x1、x2为整数,首先要sqrt(N^2+6N-3)为整数,即N^2+6N-3=M^2,其中M为整数.从而而N^2+6N-3=(N+3)^2-12=M^2 ==> (N+3)^2-M^2=12 ==> (N+3-M)(N+3+M)=12=1*12=2*6=3*4
所以：
N+3+M=1 And N+3-M=12
N+3+M=12 And N+3-M=1
N+3+M=2 And N+3-M=6
N+3+M=6 And N+3-M=2
N+3+M=3 And N+3-M=4
N+3+M=4 And N+3-M=3
解上面的六个方程组,舍掉M、N不是整数的解得到：
M=2、N=1 或 M=-2、N=1
带入N=1/r得：r=1
综上,r=0或r=1.

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