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正方形ABCD中,E在边AB上,DF⊥DE交BC的延长线与F,直线EF,AC交于H,连DH ①求证:

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/09 04:31:31
正方形ABCD中,E在边AB上,DF⊥DE交BC的延长线与F,直线EF,AC交于H,连DH ①求证:
△DEF为等腰直角三角形 ②求证:DH⊥EF ③求证:AH-CH=根号2CF ④直接写出BC,CF,AH之间的数量关系式
图在此  不看辅助线

求大神
(1)证明:因为四边形ABCD是正方形
所以AB=DC
角DAE=角BCD=角ADC=90度
角BAC=角ACD=45度
因为角BCD+角DCF=180度
所以角DCF=90度
所以角DAE=角DCF=90度
因为DF垂直DE
所以角EDF=角CDE+角CDF=90度
因为角ADC=角ADE+角CDE=90度
所以角ADE=角CDF
所以三角形ADE和三角形CDF全等(SAS)
所以DE=DF
所以三角形DEF是等腰三角形
因为角EDF=90度
所以三角形DEF是等腰直角三角形
(2)证明;:过点E作EM垂直AE于E,EM交AC于M
所以角AEM=90度
因为角BAC+角AEM+角AME=180度
角BAC=45度
所以角AME=45度
所以角BAC=角AME=45度
所以AE=ME
所以三角形AME是等腰直角三角形
所以由勾股定理得:
AM^2=AE^2+ME^2
所以AM=根号2AE
因为三角形ADE和三角形CDF全等(已证)
所以AE=CF
所以ME=CF
因为角AME+角EMH=180度(平角等于180度
所以角EMH=135度
因为角FCH=角DCF+角ACD
角ACD=45度(已证)
角DCF=90度(已证)
所以角FCH=135度
所以角EMH=角FCH=135度
因为角EHM=角FHC(对顶角相等)
所以三角形EMH和三角形FCH全等(AAS)
所以EH=FH=1/2EF
所以DH是等腰直角三角形DEF的中线
所以DH是等腰直角三角形DEF的垂线
所以DH垂直EF
(3)证明:因为三角形EMH和三角形FCH全等(已证)
所以MH=CH
因为AH=AM+MH
AM=根号2AE(已证)
AE=CF(已证)
所以AH=CH+根号2CF
所以AH-CH=根号2CF
(4)BC+CF=根号2AH