如图所示,在长方体,ABCD-A1B1C1D1中,AB=2AD=2AA1=2,E是AB的中点,F是A1C的中点
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/24 21:46:32
如图所示,在长方体,ABCD-A1B1C1D1中,AB=2AD=2AA1=2,E是AB的中点,F是A1C的中点
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/18/f1839f510d9a4255e3064f56e919a58b.jpg)
(1)求证:EF∥平面AA1D1D;
(2)求证:EF⊥平面A1CD;
(3)求三棱锥B-A1DF的体积.
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(1)求证:EF∥平面AA1D1D;
(2)求证:EF⊥平面A1CD;
(3)求三棱锥B-A1DF的体积.
证明:(1)连接BD1,AD1,
由长方体的几何特征,可得F也为BD1的中点
又∵E是AB的中点,
∴EF为△BAD1的中位线
∴EF∥AD1
又∵EF⊄平面AA1D1D,AD1⊂平面AA1D1D
∴EF∥平面AA1D1D;
(2)连接A1D,∵AD=AA1,
∴四边形AA1D1D为正方形
∴A1D⊥AD1,
又∵CD⊥AD1,A1D∩CD=D
∴AD1⊥平面A1CD
又∵EF∥AD1
∴EF⊥平面A1CD;
(3)∵三棱锥B-A1DF的体积等于三棱锥A1-BDF
三棱锥A1-BDF的体积等于三棱锥A1-BCD减三棱锥F-BCD
∵AB=2AD=2AA1=2,F是A1C的中点
∴S△BCD=1
三棱锥A1-BCD的高h=1,三棱锥F-BCD的高h′=
1
2
∴三棱锥B-A1DF的体积V=
1
3•1(1-
1
2)=
1
6
由长方体的几何特征,可得F也为BD1的中点
又∵E是AB的中点,
∴EF为△BAD1的中位线
∴EF∥AD1
又∵EF⊄平面AA1D1D,AD1⊂平面AA1D1D
∴EF∥平面AA1D1D;
(2)连接A1D,∵AD=AA1,
∴四边形AA1D1D为正方形
∴A1D⊥AD1,
又∵CD⊥AD1,A1D∩CD=D
∴AD1⊥平面A1CD
又∵EF∥AD1
∴EF⊥平面A1CD;
(3)∵三棱锥B-A1DF的体积等于三棱锥A1-BDF
三棱锥A1-BDF的体积等于三棱锥A1-BCD减三棱锥F-BCD
∵AB=2AD=2AA1=2,F是A1C的中点
∴S△BCD=1
三棱锥A1-BCD的高h=1,三棱锥F-BCD的高h′=
1
2
∴三棱锥B-A1DF的体积V=
1
3•1(1-
1
2)=
1
6
在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点.
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点?
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