n为奇数,且有n=x^2+y^2=a^2+b^2,x.y一奇一偶,a.b一奇一偶,证明n不是质数

n为奇数,且有n=x^2+y^2=a^2+b^2,x.y一奇一偶,a.b一奇一偶,证明n不是质数
x≠a或b，y≠a或b

有一个结论说4k+1型的质数存在唯一的方式表为两个完全平方数之和(不计顺序).
这里就是这个唯一性的逆否命题.
唯一性比较严格的表述为:
若n是质数,正整数x,y,a,b满足x²+y² = a²+b² = n,则有x = a或x = b (相应有y = b或y = a).
证明:首先n² = (a²+b²)(x²+y²) = a²x²+b²y²+b²x²+a²y² = (ax+by)²+(bx-ay)² ≥ (ax+by)².
即有n ≥ ax+by.其中等号成立当且仅当bx-ay = 0,即bx = ay.
代回得a²n = a²x²+a²y² = a²x²+b²x² = x²n,故x² = a²,又x,a为正整数,有x = a.
因此当x ≠ a,有n > ax+by > 0,而n是质数,可知n与ax+by互质.
注意到n | (a²-y²)n = a²(x²+y²)-y²(a²+b²) = a²x²-b²y² = (ax-by)(ax+by).
但n与ax+by互质,故当x ≠ a时有n | ax-by.
而n² = (a²+b²)(x²+y²) = a²x²+b²y²+b²x²+a²y² = (ax-by)²+(bx+ay)² > (ax-by)² (bx+ay > 0).
有n > ax-by > -n,于是由n | ax-by,只有ax-by = 0,即ax = by.
代回得x²n = a²x²+b²x² = b²y²+b²x² = b²n,故x² = b²,又x,b为正整数,有x = b.
由此可知,在所给条件下,x = a与x = b必成立其一,代回即得相应y = b与y = a.证毕.
注:上面讨论的是正整数解,而当x,y,a,b中有0时,易见n不为质数,因此结论可以适用于自然数.
作为推论,有两种不同方式(不计次序)表为完全平方和的整数一定是合数.
再问： 若x≠a或b，y≠a或b呢
再答： 逻辑是这样的: 如果n是质数, 并有两组自然数x, y与a, b满足n = x²+y² = a²+b², 那么必有x = a或b. 现在已知对某个n, 存在自然数x, y与a, b满足n = x²+y² = a²+b², 但x ≠ a或b, 那么n一定不是质数.
再问： 老师说的题是n可以写为两组数的平方即n=x^2+y^2=a^2+b^2
再答： 没错啊. 用反证法, 假设n是质数. 那么n不能写成两组不同的数的平方和(上面证明了), 得到矛盾. 所以假设不成立, n不是质数.
再问： n为奇数,且有n=x^2+y^2=a^2+b^2,x.y一奇一偶,a.b一奇一偶,所以假设存在有a>x,就有b 1, ��u �� p²+s² < n, ����n�Ǻ���. ֻ�迼��u = 1�����߻��ʵ����. ��(p²+s²)(q²+r²) = p²q²+p²r²+q²s²+s²r² = q²s²+2pqrs+p²r² = (qs+pr)². p²+s²��q²+r²����, �˻�Ϊ��ȫƽ����, �ʶ��߶�����ȫƽ����. ��v��p²+r²��q²+s²�����Լ��. ��v | p²+r², v | q²+s²��u | p²+r²+q²+s² = n. ��v > 1, ��v �� p²+r² < n, ����n�Ǻ���. ֻ�迼��v = 1�����߻��ʵ����. ��(p²+r²)(q²+s²) = p²q²+q²r²+p²s²+r²s² = p²s²+2pqrs+q²r² = (ps+qr)². p²+r²��q²+s²����, �˻�Ϊ��ȫƽ����, �ʶ��߶�����ȫƽ����. ����(p²+r²)(q²+r²)Ϊ��ȫƽ����. ��(p²+r²)(q²+r²) = p²q²+(p²+q²+r²)r² = s²r²+(p²+q²+r²)r² = (s²+p²+q²+r²)r² = nr². ����nΪ��ȫƽ����, nΪ����. �ܽ�һ���߼�: ��u > 1, ��u | n, nΪ����. ��v > 1, ͬ����v | n, nΪ����. ��u = v = 1, ��nΪ��ȫƽ����, ͬ��Ϊ����. ����x �� a��b, y �� a��b������������q > 0, r > 0. �Եõ�u �� p²+s² < n, v �� p²+r² < n.