【高考一轮】关于抽象函数f(x)的周期性应用的填空题
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/01 21:30:24
【高考一轮】关于抽象函数f(x)的周期性应用的填空题
已知函数f(x)满足:
f(1)=1/4,
4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y) (x,y∈R)
则f(2015)=_____
1/4
已知函数f(x)满足:
f(1)=1/4,
4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y) (x,y∈R)
则f(2015)=_____
1/4
1、由 f(x) = 4f(x)f(1) = f(x+1) + f(x-1);
于是:f(x+1) = f(x + 2) + f(x)
得:f(x + 2) = -f(x -1)
即 :f(x + 3) = - f(x);
于是:f(x+6)=-f(x+3)=f(x)
可知,f(x)为周期为6的周期函数
2、由4f(x)f(y)=4f(y)f(x) ,所以:f(x+y)+f(x-y)= f(x+y)+f(y-x)
所以:f(x) = f(-x)
可知,函数为偶函数
综上,f(2015) = f(2015 - 6* 336) = f(-1)=f(1)=1/4
于是:f(x+1) = f(x + 2) + f(x)
得:f(x + 2) = -f(x -1)
即 :f(x + 3) = - f(x);
于是:f(x+6)=-f(x+3)=f(x)
可知,f(x)为周期为6的周期函数
2、由4f(x)f(y)=4f(y)f(x) ,所以:f(x+y)+f(x-y)= f(x+y)+f(y-x)
所以:f(x) = f(-x)
可知,函数为偶函数
综上,f(2015) = f(2015 - 6* 336) = f(-1)=f(1)=1/4
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