是否存在正整数m,n,使得(2+√3)^m=(7+3√3)^n 成立
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/04 20:09:03
是否存在正整数m,n,使得(2+√3)^m=(7+3√3)^n 成立
不存在.
用反证法, 假设正整数m, n使得(2+√3)^m = (7+3√3)^n.
由二项式定理, 易知(2+√3)^m可表示为A+B√3, 其中A, B均为整数,
A和B√3分别是二项式定理展开中偶数项和奇数项的和.
由此可知(2-√3)^m = A-B√3.
同理, 存在整数C, D使得(7+3√3)^n = C+D√3, 而(7-3√3)^n = C-D√3.
由假设A+B√3 = (2+√3)^m = (7+3√3)^n = C+D√3,
可得C-A = (B-D)√3.
若B ≠ D, 则有√3 = (C-A)/(B-D)为有理数, 矛盾.
因此B = D, 进而得A = C.
于是(2-√3)^m = A-B√3 = C-D√3 = (7-3√3)^n.
与等式(2+√3)^m = (7+3√3)^n相乘得:
1 = (2-√3)^m·(2+√3)^m = (7-3√3)^n·(7+3√3)^n = 22^n.
从而n = 0, 不为正整数, 矛盾.
因此不存在正整数m, n使得(2+√3)^m = (7+3√3)^n.
用反证法, 假设正整数m, n使得(2+√3)^m = (7+3√3)^n.
由二项式定理, 易知(2+√3)^m可表示为A+B√3, 其中A, B均为整数,
A和B√3分别是二项式定理展开中偶数项和奇数项的和.
由此可知(2-√3)^m = A-B√3.
同理, 存在整数C, D使得(7+3√3)^n = C+D√3, 而(7-3√3)^n = C-D√3.
由假设A+B√3 = (2+√3)^m = (7+3√3)^n = C+D√3,
可得C-A = (B-D)√3.
若B ≠ D, 则有√3 = (C-A)/(B-D)为有理数, 矛盾.
因此B = D, 进而得A = C.
于是(2-√3)^m = A-B√3 = C-D√3 = (7-3√3)^n.
与等式(2+√3)^m = (7+3√3)^n相乘得:
1 = (2-√3)^m·(2+√3)^m = (7-3√3)^n·(7+3√3)^n = 22^n.
从而n = 0, 不为正整数, 矛盾.
因此不存在正整数m, n使得(2+√3)^m = (7+3√3)^n.
是否存在正整数m,使得f(n)=(2n+7)*3^n+9对任意自然数n都能被m整除.若存在,求出最大的m值
是否存在大于1的正整数m,使得f(n)=(2n+7)·3^n+9对任意正整数n都能被m整除?
是否存在正整数m,使得f(n)=(2n+7)•3n+9对任意正整数n都能被m整除?若存在,求出最大的m值,并证明你的结论
是否存在正整数m,n,使得m(m+2)=n(n+1)?
归纳 猜想 论证是否存在大于1的正整数m,使得f(n)=(2n+7)*3^n+1对任意正整数n都能被m整除?若存在,求出
1.是否存在大于1的正整m数使得f(n)=n^3+5n对任意正整数n都能被m整除?
已知f(n)=(2n+7)×3^n +9 ,是否存在自然数m,使得对任意n∈N*,都能使m整除f(n)?
(1)是否存在正整数m,n,使得m(m+2)=n(n+1)?
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数论的,求所有的正整数对(m,n),m>=3,n>=3,使得存在无穷多个正整数a,(a^m+a-1)/(a^n+a^2-
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