椭圆问题,求解答,要过程.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/31 04:05:23
椭圆问题,求解答,要过程.
已知椭圆M:(a>0)的一个焦点F(-1,0),左右定点分别为A,B,经过F的直线l与椭圆M交于C,D两点.记三角形ABD与三角形ABC的面积分别为S1 ,S2 求|S1-S2|的最大值
∵椭圆x^2/a^2+y^2/3=1的一个焦点为F(-1,0),∴c=1,又c=√(a^2-b^2),
∴√(a^2-3)=1,∴a^2-3=1,∴a^2=4.
∴椭圆M的方程是:x^2/4+y^2/3=1.
一、当直线l不存在斜率时,l的方程是:x=-1.
显然,此时C、D关于AB对称,∴此时|S1-S2|=0.
二、当直线l存在斜率时,令斜率为k,则l的方程是:y=k(x+1).
联立:y=k(x+1)、x^2/4+y^2/3=1,消去y,得:x^2/4+k^2(x+1)^2/3=1,
∴3x^2+4k^2(x+1)^2=12,∴(3+4k^2)x^2+8k^2x+4k^2-12=0.
∵C、D都在直线y=k(x+1)上,
∴可令C、D的坐标分别是(m,k(m+1))、(n,k(n+1)).
显然,m、n是方程(3+4k^2)x^2+8k^2x+4k^2-12=0的两根,
∴由韦达定理,有:m+n=-8k^2/(3+4k^2).
∵C、D分别在x轴的两侧,∴k(m+1)、k(n+1)异号,
考虑到对称性,只需考虑k>0的情况就可以了.
∴|S1-S2|
=(1/2)|AB|||k(m+1)|-|k(n+1)||
=(1/2)|AB||k(m+1)+k(n+1)|=(1/2)×8k|m+n+2|
=4k|-8k^2/(3+4k^2)+2|=8k|3/(3+4k^2)|=12k/(3+4k^2)
=12/(3/k+4k).
∵3/k+4k≧2√[(3/k)(4k)]=4√3,∴1/(3/k+4k)≦1/(4√3),
∴12/(3/k+4k)≦12/(4√3)=√3.
∴[12/(3/k+4k)]的最大值是√3,∴|S1-S2|的最大值是√3.
综合上述一、二,得:|S1-S2|的最大值是√3.
∴√(a^2-3)=1,∴a^2-3=1,∴a^2=4.
∴椭圆M的方程是:x^2/4+y^2/3=1.
一、当直线l不存在斜率时,l的方程是:x=-1.
显然,此时C、D关于AB对称,∴此时|S1-S2|=0.
二、当直线l存在斜率时,令斜率为k,则l的方程是:y=k(x+1).
联立:y=k(x+1)、x^2/4+y^2/3=1,消去y,得:x^2/4+k^2(x+1)^2/3=1,
∴3x^2+4k^2(x+1)^2=12,∴(3+4k^2)x^2+8k^2x+4k^2-12=0.
∵C、D都在直线y=k(x+1)上,
∴可令C、D的坐标分别是(m,k(m+1))、(n,k(n+1)).
显然,m、n是方程(3+4k^2)x^2+8k^2x+4k^2-12=0的两根,
∴由韦达定理,有:m+n=-8k^2/(3+4k^2).
∵C、D分别在x轴的两侧,∴k(m+1)、k(n+1)异号,
考虑到对称性,只需考虑k>0的情况就可以了.
∴|S1-S2|
=(1/2)|AB|||k(m+1)|-|k(n+1)||
=(1/2)|AB||k(m+1)+k(n+1)|=(1/2)×8k|m+n+2|
=4k|-8k^2/(3+4k^2)+2|=8k|3/(3+4k^2)|=12k/(3+4k^2)
=12/(3/k+4k).
∵3/k+4k≧2√[(3/k)(4k)]=4√3,∴1/(3/k+4k)≦1/(4√3),
∴12/(3/k+4k)≦12/(4√3)=√3.
∴[12/(3/k+4k)]的最大值是√3,∴|S1-S2|的最大值是√3.
综合上述一、二,得:|S1-S2|的最大值是√3.