设f(x)对任意的实数x1,x2有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),且f'(0)=1,证明f'(x)=f(x)

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/10/04 03:48:45

证明：
（i）设f(x)在定义域内恒不为零,
由原式得：|f(x+y)|=|f(x)|*|f(y)|
从而：ln|f(x+y)|=ln|f(x)|+ln|f(y)|
等式两边同时对y求导得：(x+y)'f'(x+y)/f(x+y)=f'(y)/f(y)+0
移项整理：f'(x+y)=f(x+y)f'(y)/f(y)=f'(y)f(x)
取y=0得：f'(x+0)=f'(x)=f'(0)f(x)=f(x)
（ii）当f(x)在某点处（不妨设在点a处）为零时,即f(a)=0时,
可知对任意的x,成立：f(x+a)=f(x)f(a)=f(x)*0=0
由x的任意性,知x+a能取遍整个实数空间,则f在实数域内恒为0,亦满足f'(x)=f(x)(=0)
综合（i）和（ii）可知,原命题成立
证毕.

设函数F(X)的定义域为R,对任意实数X1,X2,有F(X1)+F(X2)=2F(X1+X2/2)乘以F(X1-X2)/ 设函数f(x)的定义域为R,对任意实数x1,x2,有f(x1)+f(x2)=2f{(x1+x2)/2}×f{(x1-x2 已知函数f(x)=2^x,x1,x2是任意实数,且x1≠x2.证明1/2[f(x1)+f(x2)]>f[(x1+x2)/ 已知f(x)对任意实数x1 x2都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)·f(x2) 求证f(x)为偶函数设函数f(x)对任何实数x1,x2有f(x1+x2)=f(x1)f(x2)且f`(0)=1,证明f`(x)=f(x) 证明一道数学题证明对任意实数0＜x1＜x2＜1,f‘（x）-[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)=0在（x1,x2 已知函数f(x)=2的X次方,X1,X2是任意实数且X1不等于X2,证明0.5（f(x1)+f(x2))>f（(x1+x 设函数f(x)的定义域关于原点对称,且对于定义域内任意x1≠x2有f(x1-x2)=[1+f(x1)+f(x2)]/[f 设函数f(x)的定义域为R,对任意实数x1,x2,总有f(x1+x2)=f(x1)*f(x2) 函数f(x),x∈R,若对于任意实数x1,x2都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1).f(x2),求证f( 已知函数f(x)=2^x.x1x2是任意实数且x1不等于x2,证明1/2f(x1)+f(x2)>f[(x1+x2)/2] 已知函数y=f(x).对于任意两个实数x1,x2,有f(x1+x2)=f(x1)f(x2)且f(0)不等于0,