函数求不定积分问题xtanx在定义域(-π/2,π/2)是否可积?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/14 06:54:17

函数求不定积分问题
xtanx在定义域(-π/2,π/2)是否可积?

xtanx为偶函数,I=∫xtanxdx=2∫xtanxdx=2I1
I1=∫xtanxdx
=-∫xdlncosx
=∫lncosxdx-xlncosx
=I2-[xlncosx]|
现在求I2：令x=π/2-2t,可得dx=-2dt
I2=∫lncosxdx
=-2∫lnsin2tdt
=-2∫(ln2+lnsint+lncost)dt
=-π/2*ln2-2(∫lnsintdt+∫lncostdt)

令t=π/2-u,可得dt=-du
∫lnsintdt+∫lncostdt
=∫lnsintdt-∫lnsinudu
=∫lnsintdt+∫lnsinudu
=∫lnsintdt+∫lnsinudu+∫lnsinudu
=0+I2=I2
∴有 I2=-π/2*ln2-2I2
解得 I2=-π/6*ln2
∴I1=I2-[xlncox]|
=-π/6*ln2-[xlncox]|
=-π/6*ln2-π/2*lncos(π/2)
∵lncos(π/2)-> -∞,∴I1->+∞
∴I1在(0,π/2)上不可积,故I在(-π/2,π/2)上也不可积

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