设x²+y²=z²,x,y,z为正整数,证明：60整除xyz

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/11/05 15:10:13

设x²+y²=z²,x,y,z为正整数,证明：60整除xyz
要求越详细越好,而且回答的越清晰越容易懂最好

分三步证明：
第一步证明3整除xyz
证明：如果这个数是3n,平方除以3的余数是0
如果这个数是3n+1,平方=9n^2+6n+1除以3的余数是1
如果这个数是3n+2,平方=9n^2+12n+4=3(3n^2+4n+1)+1除以3的余数是1
所以一个数的平方除以3的余数是0或1
而x²+y²=z²,所以只可能x²,y²中一个除以3的余数是0,另一个余数是1,z²除以3的余数是1
所以x,y中必定有一个是3的倍数.3整除xyz
第二步证明4整除xyz
同以上的证明,
一个数的平方除以4的余数是0或1
x,y中必定有一个是4的倍数,4整除xyz
第三步证明5整除xyz
证明：如果这个数是5n,平方除以5的余数是0
如果这个数是5n+1,平方=25n^2+10n+1除以5的余数是1
如果这个数是5n+2,平方=25n^2+20n+4除以5的余数是4
如果这个数是5n+3,平方=25n^2+30n+5+4除以5的余数是4
如果这个数是5n+4,平方=25n^2+40n+15+1除以5的余数是1
x²+y²=z²,所以x²,y²余数分别是1,4,z²除以5的余数是0
5整除z,所以5整除xyz
所以3*4*5=60整除xyz
如果你懂数论中平方除以3,4,5的余数的结论,那么就可以直接用了,不用我这么慢慢证了.
不知写的明不明白,有问题追问.

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