设函数f(x)=lnx-ax+2.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/08/23 18:10:01
设函数f(x)=lnx-ax+2.
(1)若a>0,求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)若a>-e时,函数g(x)=ex-xf′(x)在[
(1)若a>0,求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)若a>-e时,函数g(x)=ex-xf′(x)在[
1 |
2 |
(1)由f′(x)=
1−ax
x,(x>0),
由a>0得,当x∈(0,
1
a)时,f′(x)>0,当x∈(
1
a,+∞)时,f′(x)<0,
∴f(x)在(0,
1
a)递增,在(
1
a,+∞)递减,
∴f(x)极大值=f(
1
a)=-lna+1,没有极小值;
(2)由(1)得:g(x)=ex-xf′(x)=ex+ax-1,则g′(x)=ex+a,
①当a≥-
e时,由
1
2≤x≤3得g′(x)≥0,g(x)在[
1
2,3]上递增,
此时g(x)max=g(3),令g(3)=e3+3a-1=e3,解得:a=
1
3,符合题意;
②当-e<a<-
e时,
由g′(x)<0得
1
2<x<ln(-a),∴函数g(x)在[
1
2,3]上递减,
∴g(x)≤g(
1
2)=
e+
1
2a-1<
e-
1
2
e-1<e3,不合题意,
由g′(x)>0得ln(-a)<x≤ln3,∴g(x)在(ln(-a),3]递增,
∴在区间(ln(-a),3]上,g(x)≤g(3)=e3+3a-1<e3-3
e-1<e3,不合题意,
综上,a的值是
1
3.
1−ax
x,(x>0),
由a>0得,当x∈(0,
1
a)时,f′(x)>0,当x∈(
1
a,+∞)时,f′(x)<0,
∴f(x)在(0,
1
a)递增,在(
1
a,+∞)递减,
∴f(x)极大值=f(
1
a)=-lna+1,没有极小值;
(2)由(1)得:g(x)=ex-xf′(x)=ex+ax-1,则g′(x)=ex+a,
①当a≥-
e时,由
1
2≤x≤3得g′(x)≥0,g(x)在[
1
2,3]上递增,
此时g(x)max=g(3),令g(3)=e3+3a-1=e3,解得:a=
1
3,符合题意;
②当-e<a<-
e时,
由g′(x)<0得
1
2<x<ln(-a),∴函数g(x)在[
1
2,3]上递减,
∴g(x)≤g(
1
2)=
e+
1
2a-1<
e-
1
2
e-1<e3,不合题意,
由g′(x)>0得ln(-a)<x≤ln3,∴g(x)在(ln(-a),3]递增,
∴在区间(ln(-a),3]上,g(x)≤g(3)=e3+3a-1<e3-3
e-1<e3,不合题意,
综上,a的值是
1
3.