作业帮已知函数f（x）=lnx-ax．
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/18 04:51:53
已知函数f（x）=lnx-
| a |
| x |
（1）函数的定义域为（0，+∞），且f′（x）=
x+a
x2
∵a＞0，∴f′（x）＞0
∴f（x）在定义域上单调递增；
（2）由（1）知，f′（x）=
x+a
x2
①若a≥-1，则x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为增函数
∵f（x）在[1，e]上的最小值为
3
2，
∴f（x）min=f（1）=-a=
3
2，
∴a=-
3
2（舍去）
②若a≤-e，则x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为减函数，
∴f（x）min=f（e）=1-
a
e=
3
2，∴a=-
e
2（舍去）．
③若-e＜a＜-1，令f′（x）=0，得x=-a．
当1＜x＜-a时，f′（x）＜0，∴f（x）在（1，-a）上为减函数；
当-a＜x＜e时，f′（x）＞0，∴f（x）在（-a，e）上为增函数，
∴f（x）min=f（-a）=ln（-a）+1=
3
2，∴a=-
e．
综上可知：a=-
e．
x+a
x2
∵a＞0，∴f′（x）＞0
∴f（x）在定义域上单调递增；
（2）由（1）知，f′（x）=
x+a
x2
①若a≥-1，则x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为增函数
∵f（x）在[1，e]上的最小值为
3
2，
∴f（x）min=f（1）=-a=
3
2，
∴a=-
3
2（舍去）
②若a≤-e，则x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为减函数，
∴f（x）min=f（e）=1-
a
e=
3
2，∴a=-
e
2（舍去）．
③若-e＜a＜-1，令f′（x）=0，得x=-a．
当1＜x＜-a时，f′（x）＜0，∴f（x）在（1，-a）上为减函数；
当-a＜x＜e时，f′（x）＞0，∴f（x）在（-a，e）上为增函数，
∴f（x）min=f（-a）=ln（-a）+1=
3
2，∴a=-
e．
综上可知：a=-
e．