已知实数集R上的函数f(x)=ax3+bx2+cx+d,其中a、b、c、d是实数.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/10/06 14:33:26
已知实数集R上的函数f(x)=ax3+bx2+cx+d,其中a、b、c、d是实数.
(1)若函数f(x)在区间(-∞,-1)和(3,+∞)上都是增函数,在区间(-1,3)上是减函数,并且f(0)=-7,f′(0)=-18,求函数f(x)的表达式;
(2)若a、b、c满足b2<3ac,求证:函数f(x)是单调函数.
(1)若函数f(x)在区间(-∞,-1)和(3,+∞)上都是增函数,在区间(-1,3)上是减函数,并且f(0)=-7,f′(0)=-18,求函数f(x)的表达式;
(2)若a、b、c满足b2<3ac,求证:函数f(x)是单调函数.
(1)∵f(x)=ax3+bx2+cx+d,
∴f'(x)=3ax2+2bx+c,
∵f(0)=-7,
∴d=-7,
∵f'(0)=-18,
∴c=-18,
∴f'(x)=3ax2+2bx-18,
∵函数f(x)在区间(-∞,-1)和(3,+∞)上都是增函数,在区间(-1,3)上是减函数,
∴-1和3必是f'(x)=0的两个根,
∴
3a−2b−18=0
27a+6a−18=0,解得
a=2
b=−6,
∴f(x)=2x3-6x2-18x-7;
(2)由(1)可知,f'(x)=3ax2+2bx+c,
∵b2-3ac<0,
∴a≠0,c≠0,
∴f'(x)为二次三项式,
∵△=(2b)2-4(3ac)=4(b2-3ac)<0,
∴当a>0时,f'(x)>0恒成立,此时函数f(x)是单调增函数,
当a<0时,f'(x)<0恒成立,此时函数f(x)是单调减函数,
∴对任意给定的非零实数a,函数f(x)总是单调函数.
∴f'(x)=3ax2+2bx+c,
∵f(0)=-7,
∴d=-7,
∵f'(0)=-18,
∴c=-18,
∴f'(x)=3ax2+2bx-18,
∵函数f(x)在区间(-∞,-1)和(3,+∞)上都是增函数,在区间(-1,3)上是减函数,
∴-1和3必是f'(x)=0的两个根,
∴
3a−2b−18=0
27a+6a−18=0,解得
a=2
b=−6,
∴f(x)=2x3-6x2-18x-7;
(2)由(1)可知,f'(x)=3ax2+2bx+c,
∵b2-3ac<0,
∴a≠0,c≠0,
∴f'(x)为二次三项式,
∵△=(2b)2-4(3ac)=4(b2-3ac)<0,
∴当a>0时,f'(x)>0恒成立,此时函数f(x)是单调增函数,
当a<0时,f'(x)<0恒成立,此时函数f(x)是单调减函数,
∴对任意给定的非零实数a,函数f(x)总是单调函数.
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