已知f(x)=ax3+bx2+cx+d是定义在R上的函数,其图象与x轴交于A,B,C三点,若点B的坐标为(2,0),且&
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/13 18:41:24
已知f(x)=ax3+bx2+cx+d是定义在R上的函数,其图象与x轴交于A,B,C三点,若点B的坐标为(2,0),且 f(x)在[-1,0]和[4,5]上有相同的单调性,在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性.
(1)求
(1)求
b |
a |
(1)f(x)=ax3+bx2+cx+d⇒f'(x)=3ax2+2bx+c
由题意得:f(x)在[-1,0]和[0,2]上有相反的单调性
所以f'(0)=0
所以c=0
当c=0时,f'(x)=0的另一个根为x=−
2b
3a
f(x)在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性,
所以2≤−
2b
3a≤4,
所以−6≤
b
a≤−3
由题意得:f(x)=ax3+bx2+d=0的三个不同根为2,xA,xC
得f(2)=0
所以d=-8a-4b
f(x)=(x-2)[ax2+(2a+b)x+2(2a+b)]=0
所以ax2+(2a+b)x+2(2a+b)]=0二个不同根为xA,xC,
所以
△=(2a+b)(b−6a)>0,
解得
b
a>6或
b
a<−2
综上得:−6≤
b
a≤−3…(5分)
(2)假设在函数f(x)的图象上存在一点M(x0,y0),使得f(x)在点M的切线斜率为3b
则 f'(x0)=3b⇔3ax02+2bx0-3b=0有解(*)
令t=
b
a⇒−6≤t≤−3,a,b≠0
得:△=4a2(t2+9t)=4a2t(t+9)<0与(*)矛盾
在函数f(x)的图象上不存在一点M(x0,y0),使得f(x)在点M的切线斜率为3b…(10分)
(3)由(1)得:
|AC|2=(xA−xC)2=(xA+xC)2−4xAxC
|AC|2=
1
a2[(2a+b)2−8a(2a+b)]
|AC|2=t2−4t−12=(t−2)2−16∈[9,48]…(14分)
所以3≤|AC|≤4
3
由题意得:f(x)在[-1,0]和[0,2]上有相反的单调性
所以f'(0)=0
所以c=0
当c=0时,f'(x)=0的另一个根为x=−
2b
3a
f(x)在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性,
所以2≤−
2b
3a≤4,
所以−6≤
b
a≤−3
由题意得:f(x)=ax3+bx2+d=0的三个不同根为2,xA,xC
得f(2)=0
所以d=-8a-4b
f(x)=(x-2)[ax2+(2a+b)x+2(2a+b)]=0
所以ax2+(2a+b)x+2(2a+b)]=0二个不同根为xA,xC,
所以
△=(2a+b)(b−6a)>0,
解得
b
a>6或
b
a<−2
综上得:−6≤
b
a≤−3…(5分)
(2)假设在函数f(x)的图象上存在一点M(x0,y0),使得f(x)在点M的切线斜率为3b
则 f'(x0)=3b⇔3ax02+2bx0-3b=0有解(*)
令t=
b
a⇒−6≤t≤−3,a,b≠0
得:△=4a2(t2+9t)=4a2t(t+9)<0与(*)矛盾
在函数f(x)的图象上不存在一点M(x0,y0),使得f(x)在点M的切线斜率为3b…(10分)
(3)由(1)得:
|AC|2=(xA−xC)2=(xA+xC)2−4xAxC
|AC|2=
1
a2[(2a+b)2−8a(2a+b)]
|AC|2=t2−4t−12=(t−2)2−16∈[9,48]…(14分)
所以3≤|AC|≤4
3
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