作业帮设函数f（x）=4lnx-（x-1）2．
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/17 14:55:19
设函数f（x）=4lnx-（x-1）2．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+x2-4x-a=0在区间[1，e]内恰有两个相异的实根，求实数a的取值范围．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+x2-4x-a=0在区间[1，e]内恰有两个相异的实根，求实数a的取值范围．
（I）∵函数f（x）=4lnx-（x-1）2．
∴f′（x）=
4
x-2x+2=
−2x2+2x+4
x=
−2(x−2)(x+1)
x（x＞0）．
令f′（x）＞0，解得x∈（0，2）
故函数f（x）的单调递增区间为（0，2）
（II）关于x的方程f（x）+x2-4x-a=0
可化为4lnx-（x-1）2+x2-4x-a=4lnx-2x-1-a=0
令g（x）=4lnx-2x-1-a
则g′（x）=
4
x-2
令g′（x）=0，则x=2，
则当0＜x＜2时，g′（x）＞0，g（x）为增函数
当x＞2时，g′（x）＜0，g（x）为减函数
故当方程f（x）+x2-4x-a=0在区间[1，e]内恰有两个相异的实根时
g(1)＝−3−a≤0
g(2)＝4ln2−5−a＞0
g(e)＝3−2e−a≤0
解得3-2e≤a＜4ln2-5
故实数a的取值范围为[3-2e，4ln2-5）
∴f′（x）=
4
x-2x+2=
−2x2+2x+4
x=
−2(x−2)(x+1)
x（x＞0）．
令f′（x）＞0，解得x∈（0，2）
故函数f（x）的单调递增区间为（0，2）
（II）关于x的方程f（x）+x2-4x-a=0
可化为4lnx-（x-1）2+x2-4x-a=4lnx-2x-1-a=0
令g（x）=4lnx-2x-1-a
则g′（x）=
4
x-2
令g′（x）=0，则x=2，
则当0＜x＜2时，g′（x）＞0，g（x）为增函数
当x＞2时，g′（x）＜0，g（x）为减函数
故当方程f（x）+x2-4x-a=0在区间[1，e]内恰有两个相异的实根时
g(1)＝−3−a≤0
g(2)＝4ln2−5−a＞0
g(e)＝3−2e−a≤0
解得3-2e≤a＜4ln2-5
故实数a的取值范围为[3-2e，4ln2-5）