求极限(无穷小量代换)

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/18 21:36:35

求极限(无穷小量代换)
若 lim (x→0)[sin6x+xf(x)]/x^3=0,则lim(x→0)[6+f(x)]/x^2=( )
这样用无穷小量代换怎么不可以呢
lim (x→0)[sin6x+xf(x)]/x^3= lim(x→0)[6x+xf(X)]/x^3= lim(x→0)[6+f(x)]/x^2=0
和标准答案结果不同,标准答案是(36) 我想知道为什么?

我给你举个例子好不好:
lim(x->0)(tanx-sinx)/sin(x^3)
你说x->0,tanx-x,sinx-x
所以:
lim(x->0)(tanx-sinx)/sin(x^3)=(x-x)/sin(x^3)=0
但这是错的
在求极限中相乘或者相除的时候才能用这个来求,不是随便就能用的
应该这样做:
tanx-sinx=sinx/cosx*(1-cosx)
lim(x->0)(tanx-sinx)/sin(x^3)
=lim(x->0)1/cosx*(x*x^2/2)/x^3
=1/2
利用sinx的麦克劳林公式展开
sin6x=6x-(6x)^3/3!+o(x^3）
f(x)在x=0处展开f(x)=f(0)+f'(0)x+1/2f''(0)x^2+o(x^2)
代入得到
lim[sin6x+xf(x)]/x^3=6x-(6x)^3/3!+o(x^3)+f(0)x+f'(0)x^2+1/2f''(0)x^3+o(x^3)/x^3=0 x→0
整理得lim[6x+f(0)x+f'(0)x^2]/x^3+1/2f''(0)-36=0
从而f(0)=-6 f'(0)=0 1/2f''(0)-36=0 f''(0)=72
lim[6+ f(x)]/x^2=limf''(0)/2=36
x→0

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