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对于函数f(x),若存在x0使得f(x0)=x0成立,则称点(x0,x0)为函数f(x)的不动点.

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/07 23:42:03
对于函数f(x),若存在x0使得f(x0)=x0成立,则称点(x0,x0)为函数f(x)的不动点.
(1)已知函数f(x)=ax2+bx-b(a≠0)有不动点(1,1)和(-3,-3),求a,b的值.
(2)若对于任意实数b,函数f(x)=ax2+bx-b总有两个相异的不动点,求a的范围.
(1)由题意

f(1)=1
f(−3)=−3,即

a+b−b=1
a(−3)2+b(−3)−b=−3,解的

a=1
b=3.
(2)函数f(x)=ax2+bx-b总有两个相异的不动点,
即关于x的方程f(x)=x有两个不等根.
化简f(x)=x得到ax2+(b-1)x-b=0.
所以(b-1)2+4ab>0,即b2+(4a-2)b+1>0.
由题意,该关于b的不等式恒成立,
所以(4a-2)2-4<0.解之得:0<a<1.