作业帮求方程（X^7－1)/(X－1)=y^5－1的所有整数解.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/05 23:35:27
求方程（X^7－1)/(X－1)=y^5－1的所有整数解.
方程左边（X-1）是分母，X≠1，求求那些X=1，Y=1的兄弟别浪费脑细胞了
这是IMO的预选题
方程左边（X-1）是分母，X≠1，求求那些X=1，Y=1的兄弟别浪费脑细胞了
这是IMO的预选题
方程无整数解
证明如下：
若方程有解（x,y）,设素数p满足p│（（x^7-1)/(x-1)),所以p│(x^7-1),所以（p,x）=1,所以x^(p-1)≡1(mod p),若7不能整除（p-1）,则（7,p-1）=1,由裴蜀定理,存在s,t,使（p-1)s+7t=1,所以x=x^((p-1)s+7t)≡1（mod p）,所以x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1≡7（mod p）,所以p│7,所以p=7,综上,p=7或p≡1(mod 7).
所以（x^7-1）/(x-1)≡0或1（mod 7）,所以y-1≡0或1（mod 7）,若y-1=0(mod 7),y^4+y^3+y^2+y+1≡5(mod 7),与前面的分析矛盾；y-1≡1(mod 7),y^4+y^3+y^2+y+1≡3(mod 7),也与前面的分析相矛盾,所以方程无整数解.
证明完毕.
证明如下：
若方程有解（x,y）,设素数p满足p│（（x^7-1)/(x-1)),所以p│(x^7-1),所以（p,x）=1,所以x^(p-1)≡1(mod p),若7不能整除（p-1）,则（7,p-1）=1,由裴蜀定理,存在s,t,使（p-1)s+7t=1,所以x=x^((p-1)s+7t)≡1（mod p）,所以x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1≡7（mod p）,所以p│7,所以p=7,综上,p=7或p≡1(mod 7).
所以（x^7-1）/(x-1)≡0或1（mod 7）,所以y-1≡0或1（mod 7）,若y-1=0(mod 7),y^4+y^3+y^2+y+1≡5(mod 7),与前面的分析矛盾；y-1≡1(mod 7),y^4+y^3+y^2+y+1≡3(mod 7),也与前面的分析相矛盾,所以方程无整数解.
证明完毕.
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