(2014•天津二模)已知函数f(x)=x(x-a)2,g(x)=-x2+(a-1)x+a(其中a为常数).
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/09/03 06:50:35
(2014•天津二模)已知函数f(x)=x(x-a)2,g(x)=-x2+(a-1)x+a(其中a为常数).
(Ⅰ)如果函数y=f(x)和y=g(x)有相同的极值点,求a的值;
(Ⅱ)当x∈(0,+∞),f(x)≥(a2+a+3)x恒成立,求a的取值范围;
(Ⅲ)记函数H(x)=[f(x)-1]•[g(x)-1],若函数y=H(x)有5个不同的零点,求实数a的取值范围.
(Ⅰ)如果函数y=f(x)和y=g(x)有相同的极值点,求a的值;
(Ⅱ)当x∈(0,+∞),f(x)≥(a2+a+3)x恒成立,求a的取值范围;
(Ⅲ)记函数H(x)=[f(x)-1]•[g(x)-1],若函数y=H(x)有5个不同的零点,求实数a的取值范围.
(Ⅰ)∵f′(x)=(3x-a)(x-a),
令f′(x)=0,解得:x=a或x=
a
3
而g(x)在x=
a−1
2处有极大值,
∴
a−1
2=a,解得a=-1,或
a−1
2=
a
3,解得a=3,
综上a=3或a=-1.
(Ⅱ)由已知得x(x-a)2≥(a2+a+3)x在(0,+∞)上恒成立,
∴x2-2ax-(a+3)≥0在(0,+∞)上恒成立,
令h(x)=x2-2ax-(a+3),
∵△=4(a+
1
2)2+11>0,
∴
a<0
h(0)≥0,
解得a≤-3,∴a的取值范围是(-∞,-3].
(Ⅲ)由题意得f(x)-1=0有3个不同的实根,
g(x)-1=0有两个不同的实根,
且这两个实根两两不等,
①g(x)-1=0有2个不同实根,
只需满足g(
a−1
2)>1,解得a>1或a<-3.
②f(x)-1=0有3个不同的实根,
(i)当
a
3>a,即a<0时,f(x)在(-∞,a)上为增函数,在(a,
a
3)上为减函数,
在(
a
3,+∞)上为增函数,在x=a处取得极大值,
而f(a)=0,不合题意,舍;
(ii)当
a
3=a,即a=0时,不合题意,舍;
(iii)当
a
3<a,即a>0时,
f(x)在(-∞,
a
3)上为增函数,在(
a
3,a)上为减函数,
在(a,+∞)上为增函数,
f(x)在x=
a
3处取得极大值,f(
a
3)>1,解得a>
3
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令f′(x)=0,解得:x=a或x=
a
3
而g(x)在x=
a−1
2处有极大值,
∴
a−1
2=a,解得a=-1,或
a−1
2=
a
3,解得a=3,
综上a=3或a=-1.
(Ⅱ)由已知得x(x-a)2≥(a2+a+3)x在(0,+∞)上恒成立,
∴x2-2ax-(a+3)≥0在(0,+∞)上恒成立,
令h(x)=x2-2ax-(a+3),
∵△=4(a+
1
2)2+11>0,
∴
a<0
h(0)≥0,
解得a≤-3,∴a的取值范围是(-∞,-3].
(Ⅲ)由题意得f(x)-1=0有3个不同的实根,
g(x)-1=0有两个不同的实根,
且这两个实根两两不等,
①g(x)-1=0有2个不同实根,
只需满足g(
a−1
2)>1,解得a>1或a<-3.
②f(x)-1=0有3个不同的实根,
(i)当
a
3>a,即a<0时,f(x)在(-∞,a)上为增函数,在(a,
a
3)上为减函数,
在(
a
3,+∞)上为增函数,在x=a处取得极大值,
而f(a)=0,不合题意,舍;
(ii)当
a
3=a,即a=0时,不合题意,舍;
(iii)当
a
3<a,即a>0时,
f(x)在(-∞,
a
3)上为增函数,在(
a
3,a)上为减函数,
在(a,+∞)上为增函数,
f(x)在x=
a
3处取得极大值,f(
a
3)>1,解得a>
3
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(2012•汕头二模)已知函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx,其中常数a>0.
已知函数f(x)=lnx-(a/x),g(x)=e^x(ax+1),a为常数
已知函数f(x)=ex(x2+ax-a),其中a是常数.
已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a(a为常数)急.
(2014•江西二模)已知函数f(x)=(x−a)2lnx(其中a为常数).
设函数f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2,其中x∈R,a、b为常数,已知曲线y=f(x)与y=
(2008•徐汇区二模)已知函数f(x)=x|x-a|+b,g(x)=x+c(其中a、b、c为常数)
已知函数f(x)=log2(x+x/a)为奇函数(a为常数)且x>0时g(x)=f(x),求当x
已知函数f(x)=x2+3x|x-a|,其中a∈R.
(2013•浙江二模)已知函数f(x)=(x−a)2lnx(其中a为常数).
已知函数f(x)=1/2x2+alnx,g(x)=(a+1)x(a≠-1),H(x)=f(x)-g(x).
已知函数f(x)=ax^2-x+2a-1(a为实常数)