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设X是拓扑向量空间,A,B包含于X,若A和B是紧的,则A+B也是紧的.

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/07 18:00:46
设X是拓扑向量空间,A,B包含于X,若A和B是紧的,则A+B也是紧的.
使用拓扑学中关于紧性的如下基本结论:
①若A,B是X中的紧集,则A×B是X×X中的紧集.
②若C是Y中的紧集,f:Y → Z连续,则f(C)是Z中的紧集.
对本题,由①得A×B是X×X中的紧集.
由拓扑向量空间的定义,加法映射f:X×X → X,f(a,b) = a+b连续.
于是由②得f(A×B) = A+B是X中的紧集.