已知椭圆方程为x^2/a^2+y^2/a^2=1,a＞b＞0,它的一个顶点为M(0,1),离心率e=√6/3

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/06 09:50:57

已知椭圆方程为x^2/a^2+y^2/a^2=1,a＞b＞0,它的一个顶点为M(0,1),离心率e=√6/3
(1)求椭圆的方程(2)设直线l与椭圆交于AB两点O到l的距离为√3/2,求△AOB面积的最大值

e=c/a=根号6/3,即有c^2/a^2=2/3
(a^2-b^2)/a^2=2/3,b^2/a^2=1/3
又由M（0,1）得到b=1,即得到a^2=3
故椭圆方程是x^2/3+y^2=1.
(2)
直线与原点距离为定值√3/2,直线与椭圆相交于A,B两点
求△AOB的面积最大值,即相当于求AB距离的最大值
高为定值,即相当于在半径为√3/2的圆上作切线,求切线与椭圆的交点的距离最大值
半圆为√3/2的圆方程为：x^2+y^2=3/4
显然,当切线垂直于x轴时,AB的距离最大,此切线为x=√3/2
将x=√3/2代入椭圆方程,得 (√3/2)^2/3+y^2=1
解得,y=±√3/2,∴AB的最大值为：|AB|=2*√3/2=√3
∴△AOB的最大面积为：S△AOB=1/2*√3/2*√3=3/4