已知△ABC是等边三角形．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/18 22:19:10

已知△ABC是等边三角形．

（1）将△ABC绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O．
①如图a，当θ=20°时，△ABD与△ACE是否全等？______（填“是”或“否”），∠BOE=______度；
②当△ABC旋转到如图b所在位置时，求∠BOE的度数；
（2）如图c，在AB和AC上分别截取点B′和C′，使AB=

（1）①∵△ADE是由△ABC绕点A旋转θ得到，△ABC是等边三角形，

∴AB=AD=AC=AE，∠BAD=∠CAE=20°，
在△ABD与△ACE中，

AB=AC
∠BAD=∠CAE
AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
∵θ=20°，
∴∠ABD=∠AEC=
1
2（180°-20°）=80°，
又∵∠BAE=θ+∠BAC=20°+60°=80°，
∴在四边形ABOE中，∠BOE=360°-80°-80°-80°=120°；
②由已知得：△ABC和△ADE是全等的等边三角形，
∴AB=AD=AC=AE，
∵△ADE是由△ABC绕点A旋转θ得到的，
∴∠BAD=∠CAE=θ，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠ADB=∠AEC，
∵∠ADB+∠ABD+∠BAD=180°，
∴∠AEC+∠ABD+∠BAD=180°，
∵∠ABO+∠AEC+∠BAE+∠BOE=360°，
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE，
∴∠DAE+∠BOE=180°，
又∵∠DAE=60°，
∴∠BOE=120°；
（2）如图，∵AB=
3AB′，AC=
3AC′，
∴
AB′
AB=
AC′
AC=

3
3，
∴B′C′∥BC，
∵△ABC是等边三角形，
∴△AB′C′是等边三角形，
根据旋转变换的性质可得AD=AE，∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，

AB=AC
∠BAD=∠CAE
AD=AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB），
=180°-（∠OBC+∠ACB+∠ACE），
=180°-（∠OBC+∠ACB+∠ABD），
=180°-（∠ACB+∠ABC），
=180°-（60°+60°），
=60°，
当0°＜θ＜30°时，∠BOE=∠BOC=60°，
当30°＜θ＜180°时，∠BOE=180°-∠BOC=180°-60°=120°．

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