设X,Y是连续型随机变量,证明:若X与Y独立,则X^2与Y^2相互独立
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/01 12:09:51
设X,Y是连续型随机变量,证明:若X与Y独立,则X^2与Y^2相互独立
额,不要太复杂,我数学是普通专业的大二水平
额,不要太复杂,我数学是普通专业的大二水平
假定X,Y的联合分布为 f_(X,Y)(x,y),则因为 X与Y独立,
f_(X,Y)(x,y) = f_X(x) f_Y(y)
显然,随机向量(X^2,Y^2) 是 随机向量 (X,Y)的一个变换,则有:
f_(X^2,Y^2)(u,v) = f_(X,Y)(√u,√v) det A,
其中 A 为 (x,y) 到 (u,v)=(x^2,y^2) 的微分变换矩阵,因为 x^2只依赖于x,y^2只依赖于y,所以 A其实为对角矩阵,A11 = dx / du = 1/(2√u) ,A22 = dy / dv = 1/(2√v),
所以 det A = A11 * A22 = 1/( 4√(uv) )
所以
f_(X^2,Y^2)(u,v) = f_(X,Y)(√u,√v) det A = f_X(√u) f_Y(√v) * 1/( 4√(uv) )
= 1/(2√u) f_X(√u) * 1/(2√v) f_Y(√v)
显然,这是两个函数的乘积,第一个函数只依赖于u,第二个函数只依赖于v,
所以 X^2与Y^2相互独立.
(矩阵A及其行列式被称为Jacobian,雅克比矩阵/行列式,如果想知道有关变换的话)
嗯,不要复杂.那就直接用一个结论.如果 X,Y独立,则 对于任意的函数 f 和 g,
f(X) ,g(Y)也都是独立的.因为f(X) 只依赖于X,而g(Y)只依赖于Y.
再问: 能在简单一点吗?主要使用独立性知识,其他的适当外延一点。上边涉及范围太广了
再答: 呃,还要再简单。。。哈哈。就说 X, Y独立,X^2 只依赖于X,而Y^2只依赖于Y,所以X^2和Y^2独立。 或者你可以考虑X^2,Y^2的联合累积密度函数(cdf,嗯,还真不知道是不是这个翻译), 即概率 P(X^2
f_(X,Y)(x,y) = f_X(x) f_Y(y)
显然,随机向量(X^2,Y^2) 是 随机向量 (X,Y)的一个变换,则有:
f_(X^2,Y^2)(u,v) = f_(X,Y)(√u,√v) det A,
其中 A 为 (x,y) 到 (u,v)=(x^2,y^2) 的微分变换矩阵,因为 x^2只依赖于x,y^2只依赖于y,所以 A其实为对角矩阵,A11 = dx / du = 1/(2√u) ,A22 = dy / dv = 1/(2√v),
所以 det A = A11 * A22 = 1/( 4√(uv) )
所以
f_(X^2,Y^2)(u,v) = f_(X,Y)(√u,√v) det A = f_X(√u) f_Y(√v) * 1/( 4√(uv) )
= 1/(2√u) f_X(√u) * 1/(2√v) f_Y(√v)
显然,这是两个函数的乘积,第一个函数只依赖于u,第二个函数只依赖于v,
所以 X^2与Y^2相互独立.
(矩阵A及其行列式被称为Jacobian,雅克比矩阵/行列式,如果想知道有关变换的话)
嗯,不要复杂.那就直接用一个结论.如果 X,Y独立,则 对于任意的函数 f 和 g,
f(X) ,g(Y)也都是独立的.因为f(X) 只依赖于X,而g(Y)只依赖于Y.
再问: 能在简单一点吗?主要使用独立性知识,其他的适当外延一点。上边涉及范围太广了
再答: 呃,还要再简单。。。哈哈。就说 X, Y独立,X^2 只依赖于X,而Y^2只依赖于Y,所以X^2和Y^2独立。 或者你可以考虑X^2,Y^2的联合累积密度函数(cdf,嗯,还真不知道是不是这个翻译), 即概率 P(X^2
设X,Y是连续型随机变量,证明:若X与Y独立,则X^2与Y^2相互独立
“设连续型随机变量x和y相互独立,则P{X=Y}=0”如何证明
若X,Y是相互独立的随机变量,那么X,2Y相互独立吗
设随机变量X~N(-3,1),(2,4),且X与Y相互独立,则X-2Y+11~
设随机变量X~N(-1,2),N(2,7),且X与Y相互独立,则D(X+Y)=
设X与Y相互独立且服从N(0,0.5),证明X-Y是N(0,1)随机变量
设随机变量X与Y相互独立,方差D(X)与D(Y)存在,则有D(X+Y)=
设X与Y是相互独立随机变量,X服从均匀分布U[0,1/5].
设随机变量X~N(1,4),N(1,2),且X与Y相互独立.则E(X-2Y)=?D(X-2Y)=?
若随机变量X~N(-2,4),N(3,9),且X与Y相互独立,设Z=2X-Y+5,则Z~N
设二维随机变量(x,y)服从二维正态分布,其概率密度1/50π证明X与Y相互独立详见图片 求X,Y是否独立
设随机变量X与Y相互独立,证明:D(XY)〉=D(X)D(Y).