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关于微分方程隐式通解的问题

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/19 21:41:21
关于微分方程隐式通解的问题
书上对微分方程的通解中要求是C是任意常数
在对可分离变量的微分方程g(y)dy=f(x)dx求出它的隐式通解G(y)=F(x)+C中C也是任意实数,可问题来了:
再对G(y)=F(x)+C再求方程的解时,书上的例子中的C有些却不是真正的任意实数(比如非0任意实数),这让我很疑惑
我拿书上的一个例子吧:
解微分方程 dy/dx = -ky ,y>0
方程式可分离变量的,因此有dy/y = -kdx
得出lny = -kx + lnC ,lnC为任意常数
所以lny = -kx + lnC是方程的隐式通解
求出 y = Cln(-kx) ① 为方程的解
我的问题就在①处,通过隐式通解中的lnC是任意常数知道C应该是大于0的任意常数.
不符合微分方程通解的定义啊
难道在这种问题上,只要隐式通解中的常数是任意常数就够了?
实际上我们可以将解写为
lny=-kx+C1

y=e^(-kx+C)=e^(C1)*e^(-kx)
其中的C1是任意常数,这意味着它也可以是复数.
由欧拉公式
e^(it)=cost+isint
可以知道①中的C也可以是任意复数
事实上在解微分方程的过程中出现复数是很自然的,就连函数lnx的定义域也可以是复数(当然也可以是负数)
再问: 我没学过复变函数,你的意思是cost+isint能表示任意复数,但是e^(C1)还不能表示任意实数啊?