n（n≥3）个人恰有m（2≤m≤n）个人戴错帽子的概率是多少?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/10/03 06:54:31

n（n≥3）个人恰有m（2≤m≤n）个人戴错帽子的概率是多少?
有n（n≥3）个人,每人一顶帽子,然后把帽子放在一起,随便给每个人一顶,问恰有m（2≤m≤n）个人戴错帽子的概率是多少?

同ls,但至少我看了百度百科没看懂它说的错排公式
以下是更浅显易懂的解答
设f(i)为i个人带错帽子的情况总数
可知 f(1)=0 f(2)=1
m个带错帽子的人设为a1,a2,a3,a4,a5,……,am
则拿到属于am的帽子的人为a1或a2或a3或……或a(m-1)
所以对最后一人的情况有m-1种,而am这个人则戴了a1或a2或a3或……或a(m-1)的帽子
最终的f(m)=(m-1)*A（乘法原理）
A代表前面m-1个人的戴错帽子情况
设拿到am帽子的人为aj,则1≤j≤m-1
分类讨论开始
第一种情况
如果am拿到了aj的帽子,也就是am和aj帽子互换
则剩下（m-2）个人戴错帽子就是 f（m-2）种情况
应该很清楚吧
第二种情况
如果am没有拿到aj的帽子
则可以等价的认为am和aj交换了帽子
例如小红有红帽子,小绿有绿帽子,小黄有黄帽子,小黑有黑帽子……………………
考虑小红,小绿
小红就像aj一样戴了小绿的绿帽子,而小绿就是am没有戴红帽子,可能带了黑帽子
这时只要假设红帽子是小绿的帽子
这样虽然小红戴对了帽子…………
但是我们考虑的是除了小红小绿的其他m-2个人
这时小绿与其他m-2个人等于戴了别人的帽子有f（m-1）种情况
至于小绿带什么帽子不影响,因为其他m-2个人的帽子颜色确定后,小绿戴的帽子也确定了
剩下所要做的就是把小红内牛满面（因为他戴了绿帽子）
综上所述,A=f(m-1)+f(m-2)
所以f(m)=(m-1)[f(m-1)+f(m-2)]也就是ls说的错排公式
接下来的事情就好办了
除了这m个人剩下人都带对帽子
所以恰有m个人戴错帽子的情况总数是B*f(m)
B是在n个人中选出m个人的情况总数,为
【n*(n-1)*(n-2)*····*(n-m+1)】/【m*(m-1)*(m-2)*···*2*1）】
而n个人戴帽子情况总数为n!=n*(n-1)*(n-2)*···*2*1
所以最终概率为
B*f(m)/n!
=f(m)*【n*(n-1)*(n-2)*····*(n-m+1)】/【m*(m-1)*(m-2)*···*2*1）】/【n!=n*(n-1)*(n-2)*···*2*1】
慢慢算吧,我估计没有明确算式

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